Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15783 / 7545
↖ ↑ ↗
← N 69.189897°
W  6.602783°		 ← 434.01 m → N 69.189897°
W  6.591797°		 →
↑
434.06 m
↓
↑
434.06 m
↓
N 69.185993°
W  6.602783°		 ← 434.09 m →
188 403 m²		 N 69.185993°
W  6.591797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15783 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481674194335938 y=0.230270385742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481674194335938 × 215)
    floor (0.481674194335938 × 32768)
    floor (15783.5)     		tx = 15783
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230270385742188 × 215)
    floor (0.230270385742188 × 32768)
    floor (7545.5)     		ty = 7545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15783 / 7545 ti = "15/15783/7545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15783/7545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15783 ÷ 215
    15783 ÷ 32768     		x = 0.481658935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7545 ÷ 215
    7545 ÷ 32768     		y = 0.230255126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481658935546875 × 2 - 1) × π
    -0.03668212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11524031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230255126953125 × 2 - 1) × π
    0.53948974609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.69485702296671
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11524031} λ = -0.11524031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69485702296671))-π/2
    2×atan(5.44586727559998)-π/2
    2×1.38919391911357-π/2
    2.77838783822714-1.57079632675     		φ = 1.20759151
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11524031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.602783°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20759151 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.189897°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15783 KachelY 7545 -0.11524031 1.20759151 -6.602783 69.189897
    Oben rechts KachelX + 1 15784 KachelY 7545 -0.11504856 1.20759151 -6.591797 69.189897
    Unten links KachelX 15783 KachelY + 1 7546 -0.11524031 1.20752338 -6.602783 69.185993
    Unten rechts KachelX + 1 15784 KachelY + 1 7546 -0.11504856 1.20752338 -6.591797 69.185993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20759151-1.20752338) × R
    6.81300000000551e-05 × 6371000     		dl = 434.056230000351m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20759151-1.20752338) × R
    6.81300000000551e-05 × 6371000     		dr = 434.056230000351m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11524031--0.11504856) × cos(1.20759151) × R
    0.000191750000000004 × 0.355271796923068 × 6371000     		do = 434.013971539259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11524031--0.11504856) × cos(1.20752338) × R
    0.000191750000000004 × 0.355335481504743 × 6371000     		du = 434.091771123854m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20759151)-sin(1.20752338))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355271796923068-0.355335481504743)×R²
    abs(-0.11504856--0.11524031)×6.36845816751053e-05×R²
    0.000191750000000004×6.36845816751053e-05×6371000²
    0.000191750000000004×6.36845816751053e-05×40589641000000     		ar = 188403.353023959m²