Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15783 / 6868
↖ ↑ ↗
← N 71.677483°
W  6.602783°		 ← 384.04 m → N 71.677483°
W  6.591797°		 →
↑
384.11 m
↓
↑
384.11 m
↓
N 71.674029°
W  6.602783°		 ← 384.11 m →
147 527 m²		 N 71.674029°
W  6.591797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15783 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481674194335938 y=0.209609985351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481674194335938 × 215)
    floor (0.481674194335938 × 32768)
    floor (15783.5)     		tx = 15783
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209609985351562 × 215)
    floor (0.209609985351562 × 32768)
    floor (6868.5)     		ty = 6868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15783 / 6868 ti = "15/15783/6868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15783/6868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15783 ÷ 215
    15783 ÷ 32768     		x = 0.481658935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6868 ÷ 215
    6868 ÷ 32768     		y = 0.2095947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481658935546875 × 2 - 1) × π
    -0.03668212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11524031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2095947265625 × 2 - 1) × π
    0.580810546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.82467014713782
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11524031} λ = -0.11524031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82467014713782))-π/2
    2×atan(6.20074934681826)-π/2
    2×1.41090220106459-π/2
    2.82180440212919-1.57079632675     		φ = 1.25100808
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11524031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.602783°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25100808 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.677483°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15783 KachelY 6868 -0.11524031 1.25100808 -6.602783 71.677483
    Oben rechts KachelX + 1 15784 KachelY 6868 -0.11504856 1.25100808 -6.591797 71.677483
    Unten links KachelX 15783 KachelY + 1 6869 -0.11524031 1.25094779 -6.602783 71.674029
    Unten rechts KachelX + 1 15784 KachelY + 1 6869 -0.11504856 1.25094779 -6.591797 71.674029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25100808-1.25094779) × R
    6.02900000001849e-05 × 6371000     		dl = 384.107590001178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25100808-1.25094779) × R
    6.02900000001849e-05 × 6371000     		dr = 384.107590001178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11524031--0.11504856) × cos(1.25100808) × R
    0.000191750000000004 × 0.314365549922952 × 6371000     		do = 384.041294633722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11524031--0.11504856) × cos(1.25094779) × R
    0.000191750000000004 × 0.314422782769595 × 6371000     		du = 384.11121252557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25100808)-sin(1.25094779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.314365549922952-0.314422782769595)×R²
    abs(-0.11504856--0.11524031)×5.72328466431071e-05×R²
    0.000191750000000004×5.72328466431071e-05×6371000²
    0.000191750000000004×5.72328466431071e-05×40589641000000     		ar = 147526.604183831m²