Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15782 / 6870
↖ ↑ ↗
← N 71.670574°
W  6.613769°		 ← 384.16 m → N 71.670574°
W  6.602783°		 →
↑
384.24 m
↓
↑
384.24 m
↓
N 71.667119°
W  6.613769°		 ← 384.23 m →
147 622 m²		 N 71.667119°
W  6.602783°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15782 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481643676757812 y=0.209671020507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481643676757812 × 215)
    floor (0.481643676757812 × 32768)
    floor (15782.5)     		tx = 15782
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209671020507812 × 215)
    floor (0.209671020507812 × 32768)
    floor (6870.5)     		ty = 6870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15782 / 6870 ti = "15/15782/6870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15782/6870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15782 ÷ 215
    15782 ÷ 32768     		x = 0.48162841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6870 ÷ 215
    6870 ÷ 32768     		y = 0.20965576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48162841796875 × 2 - 1) × π
    -0.0367431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11543205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20965576171875 × 2 - 1) × π
    0.5806884765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.82428665194086
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11543205} λ = -0.11543205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82428665194086))-π/2
    2×atan(6.19837184513557)-π/2
    2×1.41084191125098-π/2
    2.82168382250196-1.57079632675     		φ = 1.25088750
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11543205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.613769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25088750 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.670574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15782 KachelY 6870 -0.11543205 1.25088750 -6.613769 71.670574
    Oben rechts KachelX + 1 15783 KachelY 6870 -0.11524031 1.25088750 -6.602783 71.670574
    Unten links KachelX 15782 KachelY + 1 6871 -0.11543205 1.25082719 -6.613769 71.667119
    Unten rechts KachelX + 1 15783 KachelY + 1 6871 -0.11524031 1.25082719 -6.602783 71.667119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25088750-1.25082719) × R
    6.03099999998413e-05 × 6371000     		dl = 384.235009998989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25088750-1.25082719) × R
    6.03099999998413e-05 × 6371000     		dr = 384.235009998989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11543205--0.11524031) × cos(1.25088750) × R
    0.000191739999999996 × 0.314480014473348 × 6371000     		do = 384.161093499479m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11543205--0.11524031) × cos(1.25082719) × R
    0.000191739999999996 × 0.314537264018904 × 6371000     		du = 384.231028144007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25088750)-sin(1.25082719))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.314480014473348-0.314537264018904)×R²
    abs(-0.11524031--0.11543205)×5.72495455566369e-05×R²
    0.000191739999999996×5.72495455566369e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.72495455566369e-05×40589641000000     		ar = 147621.577316944m²