Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15782 / 19178
↖ ↑ ↗
← S 29.324720°
W  6.613769°		 ← 1 065.04 m → S 29.324720°
W  6.602783°		 →
↑
1 065.04 m
↓
↑
1 065.04 m
↓
S 29.334298°
W  6.613769°		 ← 1 064.94 m →
1 134 258 m²		 S 29.334298°
W  6.602783°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15782 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19178 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481643676757812 y=0.585281372070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481643676757812 × 215)
    floor (0.481643676757812 × 32768)
    floor (15782.5)     		tx = 15782
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585281372070312 × 215)
    floor (0.585281372070312 × 32768)
    floor (19178.5)     		ty = 19178
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15782 / 19178 ti = "15/15782/19178"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15782/19178.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15782 ÷ 215
    15782 ÷ 32768     		x = 0.48162841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19178 ÷ 215
    19178 ÷ 32768     		y = 0.58526611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48162841796875 × 2 - 1) × π
    -0.0367431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11543205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58526611328125 × 2 - 1) × π
    -0.1705322265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.535742790153748
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11543205} λ = -0.11543205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.535742790153748))-π/2
    2×atan(0.585234422290496)-π/2
    2×0.529491703881958-π/2
    1.05898340776392-1.57079632675     		φ = -0.51181292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11543205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.613769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51181292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.324720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15782 KachelY 19178 -0.11543205 -0.51181292 -6.613769 -29.324720
    Oben rechts KachelX + 1 15783 KachelY 19178 -0.11524031 -0.51181292 -6.602783 -29.324720
    Unten links KachelX 15782 KachelY + 1 19179 -0.11543205 -0.51198009 -6.613769 -29.334298
    Unten rechts KachelX + 1 15783 KachelY + 1 19179 -0.11524031 -0.51198009 -6.602783 -29.334298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51181292--0.51198009) × R
    0.000167169999999994 × 6371000     		dl = 1065.04006999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51181292--0.51198009) × R
    0.000167169999999994 × 6371000     		dr = 1065.04006999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11543205--0.11524031) × cos(-0.51181292) × R
    0.000191739999999996 × 0.871858047621034 × 6371000     		do = 1065.04046532599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11543205--0.11524031) × cos(-0.51198009) × R
    0.000191739999999996 × 0.871776162483876 × 6371000     		du = 1064.94043644535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51181292)-sin(-0.51198009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871858047621034-0.871776162483876)×R²
    abs(-0.11524031--0.11543205)×8.18851371580109e-05×R²
    0.000191739999999996×8.18851371580109e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.18851371580109e-05×40589641000000     		ar = 1134257.50700197m²