Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15775 / 19423
↖ ↑ ↗
← S 31.644029°
W  6.690674°		 ← 1 040.01 m → S 31.644029°
W  6.679688°		 →
↑
1 039.94 m
↓
↑
1 039.94 m
↓
S 31.653381°
W  6.690674°		 ← 1 039.91 m →
1 081 493 m²		 S 31.653381°
W  6.679688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481430053710938 y=0.592758178710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481430053710938 × 215)
    floor (0.481430053710938 × 32768)
    floor (15775.5)     		tx = 15775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592758178710938 × 215)
    floor (0.592758178710938 × 32768)
    floor (19423.5)     		ty = 19423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15775 / 19423 ti = "15/15775/19423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15775/19423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15775 ÷ 215
    15775 ÷ 32768     		x = 0.481414794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19423 ÷ 215
    19423 ÷ 32768     		y = 0.592742919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481414794921875 × 2 - 1) × π
    -0.03717041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11677429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592742919921875 × 2 - 1) × π
    -0.18548583984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.582720951781403
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11677429} λ = -0.11677429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.582720951781403))-π/2
    2×atan(0.558376980854713)-π/2
    2×0.509251916560802-π/2
    1.0185038331216-1.57079632675     		φ = -0.55229249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11677429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.690674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55229249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.644029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15775 KachelY 19423 -0.11677429 -0.55229249 -6.690674 -31.644029
    Oben rechts KachelX + 1 15776 KachelY 19423 -0.11658254 -0.55229249 -6.679688 -31.644029
    Unten links KachelX 15775 KachelY + 1 19424 -0.11677429 -0.55245572 -6.690674 -31.653381
    Unten rechts KachelX + 1 15776 KachelY + 1 19424 -0.11658254 -0.55245572 -6.679688 -31.653381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55229249--0.55245572) × R
    0.000163229999999959 × 6371000     		dl = 1039.93832999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55229249--0.55245572) × R
    0.000163229999999959 × 6371000     		dr = 1039.93832999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11677429--0.11658254) × cos(-0.55229249) × R
    0.000191750000000004 × 0.851324027638863 × 6371000     		do = 1040.01084663174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11677429--0.11658254) × cos(-0.55245572) × R
    0.000191750000000004 × 0.851238379268632 × 6371000     		du = 1039.90621522097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55229249)-sin(-0.55245572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851324027638863-0.851238379268632)×R²
    abs(-0.11658254--0.11677429)×8.56483702313948e-05×R²
    0.000191750000000004×8.56483702313948e-05×6371000²
    0.000191750000000004×8.56483702313948e-05×40589641000000     		ar = 1081492.74032156m²