Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15773 / 19332
↖ ↑ ↗
← S 30.789036°
W  6.712646°		 ← 1 049.40 m → S 30.789036°
W  6.701660°		 →
↑
1 049.43 m
↓
↑
1 049.43 m
↓
S 30.798474°
W  6.712646°		 ← 1 049.30 m →
1 101 223 m²		 S 30.798474°
W  6.701660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15773 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481369018554688 y=0.589981079101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481369018554688 × 215)
    floor (0.481369018554688 × 32768)
    floor (15773.5)     		tx = 15773
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589981079101562 × 215)
    floor (0.589981079101562 × 32768)
    floor (19332.5)     		ty = 19332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15773 / 19332 ti = "15/15773/19332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15773/19332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15773 ÷ 215
    15773 ÷ 32768     		x = 0.481353759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19332 ÷ 215
    19332 ÷ 32768     		y = 0.5899658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481353759765625 × 2 - 1) × π
    -0.03729248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11715778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5899658203125 × 2 - 1) × π
    -0.179931640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.565271920319702
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11715778} λ = -0.11715778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.565271920319702))-π/2
    2×atan(0.568205619095286)-π/2
    2×0.516713130990865-π/2
    1.03342626198173-1.57079632675     		φ = -0.53737006
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11715778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.712646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53737006 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.789036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15773 KachelY 19332 -0.11715778 -0.53737006 -6.712646 -30.789036
    Oben rechts KachelX + 1 15774 KachelY 19332 -0.11696604 -0.53737006 -6.701660 -30.789036
    Unten links KachelX 15773 KachelY + 1 19333 -0.11715778 -0.53753478 -6.712646 -30.798474
    Unten rechts KachelX + 1 15774 KachelY + 1 19333 -0.11696604 -0.53753478 -6.701660 -30.798474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53737006--0.53753478) × R
    0.000164720000000007 × 6371000     		dl = 1049.43112000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53737006--0.53753478) × R
    0.000164720000000007 × 6371000     		dr = 1049.43112000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11715778--0.11696604) × cos(-0.53737006) × R
    0.00019174000000001 × 0.859057860409472 × 6371000     		do = 1049.404069721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11715778--0.11696604) × cos(-0.53753478) × R
    0.00019174000000001 × 0.858973532130076 × 6371000     		du = 1049.30105635756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53737006)-sin(-0.53753478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859057860409472-0.858973532130076)×R²
    abs(-0.11696604--0.11715778)×8.43282793963063e-05×R²
    0.00019174000000001×8.43282793963063e-05×6371000²
    0.00019174000000001×8.43282793963063e-05×40589641000000     		ar = 1101223.23799487m²