Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15772 / 7388
↖ ↑ ↗
← N 69.794136°
W  6.723633°		 ← 421.95 m → N 69.794136°
W  6.712646°		 →
↑
422.02 m
↓
↑
422.02 m
↓
N 69.790341°
W  6.723633°		 ← 422.02 m →
178 084 m²		 N 69.790341°
W  6.712646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7388 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481338500976562 y=0.225479125976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481338500976562 × 215)
    floor (0.481338500976562 × 32768)
    floor (15772.5)     		tx = 15772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225479125976562 × 215)
    floor (0.225479125976562 × 32768)
    floor (7388.5)     		ty = 7388
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15772 / 7388 ti = "15/15772/7388"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15772/7388.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15772 ÷ 215
    15772 ÷ 32768     		x = 0.4813232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7388 ÷ 215
    7388 ÷ 32768     		y = 0.2254638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4813232421875 × 2 - 1) × π
    -0.037353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11734953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2254638671875 × 2 - 1) × π
    0.549072265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.7249613959281
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11734953} λ = -0.11734953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7249613959281))-π/2
    2×atan(5.61230436770983)-π/2
    2×1.39446689665135-π/2
    2.78893379330269-1.57079632675     		φ = 1.21813747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11734953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.723633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21813747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.794136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15772 KachelY 7388 -0.11734953 1.21813747 -6.723633 69.794136
    Oben rechts KachelX + 1 15773 KachelY 7388 -0.11715778 1.21813747 -6.712646 69.794136
    Unten links KachelX 15772 KachelY + 1 7389 -0.11734953 1.21807123 -6.723633 69.790341
    Unten rechts KachelX + 1 15773 KachelY + 1 7389 -0.11715778 1.21807123 -6.712646 69.790341
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21813747-1.21807123) × R
    6.62399999999952e-05 × 6371000     		dl = 422.015039999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21813747-1.21807123) × R
    6.62399999999952e-05 × 6371000     		dr = 422.015039999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11734953--0.11715778) × cos(1.21813747) × R
    0.000191749999999991 × 0.345394249972427 × 6371000     		do = 421.947172490608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11734953--0.11715778) × cos(1.21807123) × R
    0.000191749999999991 × 0.345456412651177 × 6371000     		du = 422.023112858853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21813747)-sin(1.21807123))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345394249972427-0.345456412651177)×R²
    abs(-0.11715778--0.11734953)×6.21626787493113e-05×R²
    0.000191749999999991×6.21626787493113e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.21626787493113e-05×40589641000000     		ar = 178084.07693095m²