Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15772 / 19412
↖ ↑ ↗
← S 31.541090°
W  6.723633°		 ← 1 041.16 m → S 31.541090°
W  6.712646°		 →
↑
1 041.09 m
↓
↑
1 041.09 m
↓
S 31.550453°
W  6.723633°		 ← 1 041.06 m →
1 083 882 m²		 S 31.550453°
W  6.712646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19412 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481338500976562 y=0.592422485351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481338500976562 × 215)
    floor (0.481338500976562 × 32768)
    floor (15772.5)     		tx = 15772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592422485351562 × 215)
    floor (0.592422485351562 × 32768)
    floor (19412.5)     		ty = 19412
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15772 / 19412 ti = "15/15772/19412"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15772/19412.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15772 ÷ 215
    15772 ÷ 32768     		x = 0.4813232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19412 ÷ 215
    19412 ÷ 32768     		y = 0.5924072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4813232421875 × 2 - 1) × π
    -0.037353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11734953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5924072265625 × 2 - 1) × π
    -0.184814453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.58061172819812
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11734953} λ = -0.11734953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.58061172819812))-π/2
    2×atan(0.559555965685307)-π/2
    2×0.510150229371403-π/2
    1.02030045874281-1.57079632675     		φ = -0.55049587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11734953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.723633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55049587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.541090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15772 KachelY 19412 -0.11734953 -0.55049587 -6.723633 -31.541090
    Oben rechts KachelX + 1 15773 KachelY 19412 -0.11715778 -0.55049587 -6.712646 -31.541090
    Unten links KachelX 15772 KachelY + 1 19413 -0.11734953 -0.55065928 -6.723633 -31.550453
    Unten rechts KachelX + 1 15773 KachelY + 1 19413 -0.11715778 -0.55065928 -6.712646 -31.550453
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55049587--0.55065928) × R
    0.000163409999999975 × 6371000     		dl = 1041.08510999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55049587--0.55065928) × R
    0.000163409999999975 × 6371000     		dr = 1041.08510999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11734953--0.11715778) × cos(-0.55049587) × R
    0.000191749999999991 × 0.852265232341547 × 6371000     		do = 1041.16065923875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11734953--0.11715778) × cos(-0.55065928) × R
    0.000191749999999991 × 0.852179739573244 × 6371000     		du = 1041.0562179174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55049587)-sin(-0.55065928))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.852265232341547-0.852179739573244)×R²
    abs(-0.11715778--0.11734953)×8.54927683029416e-05×R²
    0.000191749999999991×8.54927683029416e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.54927683029416e-05×40589641000000     		ar = 1083882.4957107m²