Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15771 / 19292
↖ ↑ ↗
← S 30.410782°
W  6.734619°		 ← 1 053.56 m → S 30.410782°
W  6.723633°		 →
↑
1 053.51 m
↓
↑
1 053.51 m
↓
S 30.420256°
W  6.734619°		 ← 1 053.46 m →
1 109 885 m²		 S 30.420256°
W  6.723633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481307983398438 y=0.588760375976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481307983398438 × 215)
    floor (0.481307983398438 × 32768)
    floor (15771.5)     		tx = 15771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588760375976562 × 215)
    floor (0.588760375976562 × 32768)
    floor (19292.5)     		ty = 19292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15771 / 19292 ti = "15/15771/19292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15771/19292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15771 ÷ 215
    15771 ÷ 32768     		x = 0.481292724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19292 ÷ 215
    19292 ÷ 32768     		y = 0.5887451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481292724609375 × 2 - 1) × π
    -0.03741455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.11754128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5887451171875 × 2 - 1) × π
    -0.177490234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.557602016380493
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11754128} λ = -0.11754128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.557602016380493))-π/2
    2×atan(0.572580457459782)-π/2
    2×0.520014028226422-π/2
    1.04002805645284-1.57079632675     		φ = -0.53076827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11754128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.734619°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53076827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.410782°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15771 KachelY 19292 -0.11754128 -0.53076827 -6.734619 -30.410782
    Oben rechts KachelX + 1 15772 KachelY 19292 -0.11734953 -0.53076827 -6.723633 -30.410782
    Unten links KachelX 15771 KachelY + 1 19293 -0.11754128 -0.53093363 -6.734619 -30.420256
    Unten rechts KachelX + 1 15772 KachelY + 1 19293 -0.11734953 -0.53093363 -6.723633 -30.420256
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53076827--0.53093363) × R
    0.000165360000000003 × 6371000     		dl = 1053.50856000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53076827--0.53093363) × R
    0.000165360000000003 × 6371000     		dr = 1053.50856000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11754128--0.11734953) × cos(-0.53076827) × R
    0.000191750000000004 × 0.862418429821831 × 6371000     		do = 1053.56420379374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11754128--0.11734953) × cos(-0.53093363) × R
    0.000191750000000004 × 0.862334713450655 × 6371000     		du = 1053.46193258885m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53076827)-sin(-0.53093363))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.862418429821831-0.862334713450655)×R²
    abs(-0.11734953--0.11754128)×8.37163711761013e-05×R²
    0.000191750000000004×8.37163711761013e-05×6371000²
    0.000191750000000004×8.37163711761013e-05×40589641000000     		ar = 1109885.03794039m²