Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 15770 / 17370
↖ ↑ ↗
← N 78.650563°
W136.686402°		 ← 60.11 m → N 78.650563°
W136.683655°		 →
↑
60.14 m
↓
↑
60.14 m
↓
N 78.650023°
W136.686402°		 ← 60.11 m →
3 615 m²		 N 78.650023°
W136.683655°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15770 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.120319366455078 y=0.132526397705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.120319366455078 × 217)
    floor (0.120319366455078 × 131072)
    floor (15770.5)     		tx = 15770
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132526397705078 × 217)
    floor (0.132526397705078 × 131072)
    floor (17370.5)     		ty = 17370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15770 / 17370 ti = "17/15770/17370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15770/17370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15770 ÷ 217
    15770 ÷ 131072     		x = 0.120315551757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17370 ÷ 217
    17370 ÷ 131072     		y = 0.132522583007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.120315551757812 × 2 - 1) × π
    -0.759368896484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.38562775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132522583007812 × 2 - 1) × π
    0.734954833984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.30892870709962
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.38562775} λ = -2.38562775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30892870709962))-π/2
    2×atan(10.0636377743913)-π/2
    2×1.4717538060834-π/2
    2.94350761216679-1.57079632675     		φ = 1.37271129
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.38562775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.686402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37271129 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.650563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15770 KachelY 17370 -2.38562775 1.37271129 -136.686402 78.650563
    Oben rechts KachelX + 1 15771 KachelY 17370 -2.38557981 1.37271129 -136.683655 78.650563
    Unten links KachelX 15770 KachelY + 1 17371 -2.38562775 1.37270185 -136.686402 78.650023
    Unten rechts KachelX + 1 15771 KachelY + 1 17371 -2.38557981 1.37270185 -136.683655 78.650023
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37271129-1.37270185) × R
    9.44000000013823e-06 × 6371000     		dl = 60.1422400008806m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37271129-1.37270185) × R
    9.44000000013823e-06 × 6371000     		dr = 60.1422400008806m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.38562775--2.38557981) × cos(1.37271129) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.196792176238544 × 6371000     		do = 60.1053960538282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.38562775--2.38557981) × cos(1.37270185) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.1968014316327 × 6371000     		du = 60.1082228894374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37271129)-sin(1.37270185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196792176238544-0.1968014316327)×R²
    abs(-2.38557981--2.38562775)×9.25539415624899e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.25539415624899e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.25539415624899e-06×40589641000000     		ar = 3614.9581610875m²