Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15766 / 19287
↖ ↑ ↗
← S 30.363396°
W  6.789551°		 ← 1 054.08 m → S 30.363396°
W  6.778565°		 →
↑
1 054.02 m
↓
↑
1 054.02 m
↓
S 30.372875°
W  6.789551°		 ← 1 053.97 m →
1 110 961 m²		 S 30.372875°
W  6.778565°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481155395507812 y=0.588607788085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481155395507812 × 215)
    floor (0.481155395507812 × 32768)
    floor (15766.5)     		tx = 15766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588607788085938 × 215)
    floor (0.588607788085938 × 32768)
    floor (19287.5)     		ty = 19287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15766 / 19287 ti = "15/15766/19287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15766/19287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15766 ÷ 215
    15766 ÷ 32768     		x = 0.48114013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19287 ÷ 215
    19287 ÷ 32768     		y = 0.588592529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48114013671875 × 2 - 1) × π
    -0.0377197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11850002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588592529296875 × 2 - 1) × π
    -0.17718505859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.556643278388092
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11850002} λ = -0.11850002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.556643278388092))-π/2
    2×atan(0.573129675334007)-π/2
    2×0.520427545169937-π/2
    1.04085509033987-1.57079632675     		φ = -0.52994124
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11850002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.789551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52994124 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.363396°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15766 KachelY 19287 -0.11850002 -0.52994124 -6.789551 -30.363396
    Oben rechts KachelX + 1 15767 KachelY 19287 -0.11830827 -0.52994124 -6.778565 -30.363396
    Unten links KachelX 15766 KachelY + 1 19288 -0.11850002 -0.53010668 -6.789551 -30.372875
    Unten rechts KachelX + 1 15767 KachelY + 1 19288 -0.11830827 -0.53010668 -6.778565 -30.372875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52994124--0.53010668) × R
    0.000165440000000072 × 6371000     		dl = 1054.01824000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52994124--0.53010668) × R
    0.000165440000000072 × 6371000     		dr = 1054.01824000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11850002--0.11830827) × cos(-0.52994124) × R
    0.000191750000000004 × 0.86283677416435 × 6371000     		do = 1054.07526966258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11850002--0.11830827) × cos(-0.53010668) × R
    0.000191750000000004 × 0.862753135308383 × 6371000     		du = 1053.97309315331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52994124)-sin(-0.53010668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.86283677416435-0.862753135308383)×R²
    abs(-0.11830827--0.11850002)×8.3638855967072e-05×R²
    0.000191750000000004×8.3638855967072e-05×6371000²
    0.000191750000000004×8.3638855967072e-05×40589641000000     		ar = 1110960.71514026m²