Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15765 / 19293
↖ ↑ ↗
← S 30.420256°
W  6.800537°		 ← 1 053.41 m → S 30.420256°
W  6.789551°		 →
↑
1 053.38 m
↓
↑
1 053.38 m
↓
S 30.429729°
W  6.800537°		 ← 1 053.30 m →
1 109 585 m²		 S 30.429729°
W  6.789551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19293 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481124877929688 y=0.588790893554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481124877929688 × 215)
    floor (0.481124877929688 × 32768)
    floor (15765.5)     		tx = 15765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588790893554688 × 215)
    floor (0.588790893554688 × 32768)
    floor (19293.5)     		ty = 19293
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15765 / 19293 ti = "15/15765/19293"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15765/19293.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15765 ÷ 215
    15765 ÷ 32768     		x = 0.481109619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19293 ÷ 215
    19293 ÷ 32768     		y = 0.588775634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481109619140625 × 2 - 1) × π
    -0.03778076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11869176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588775634765625 × 2 - 1) × π
    -0.17755126953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.557793763978973
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11869176} λ = -0.11869176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.557793763978973))-π/2
    2×atan(0.572470677057528)-π/2
    2×0.519931348907983-π/2
    1.03986269781597-1.57079632675     		φ = -0.53093363
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11869176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.800537°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53093363 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.420256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15765 KachelY 19293 -0.11869176 -0.53093363 -6.800537 -30.420256
    Oben rechts KachelX + 1 15766 KachelY 19293 -0.11850002 -0.53093363 -6.789551 -30.420256
    Unten links KachelX 15765 KachelY + 1 19294 -0.11869176 -0.53109897 -6.800537 -30.429729
    Unten rechts KachelX + 1 15766 KachelY + 1 19294 -0.11850002 -0.53109897 -6.789551 -30.429729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53093363--0.53109897) × R
    0.000165339999999903 × 6371000     		dl = 1053.38113999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53093363--0.53109897) × R
    0.000165339999999903 × 6371000     		dr = 1053.38113999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11869176--0.11850002) × cos(-0.53093363) × R
    0.000191739999999996 × 0.862334713450655 × 6371000     		do = 1053.40699324421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11869176--0.11850002) × cos(-0.53109897) × R
    0.000191739999999996 × 0.862250983629484 × 6371000     		du = 1053.3047109427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53093363)-sin(-0.53109897))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.862334713450655-0.862250983629484)×R²
    abs(-0.11850002--0.11869176)×8.37298211707749e-05×R²
    0.000191739999999996×8.37298211707749e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.37298211707749e-05×40589641000000     		ar = 1109585.19083138m²