Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15764 / 19291
↖ ↑ ↗
← S 30.401307°
W  6.811523°		 ← 1 053.67 m → S 30.401307°
W  6.800537°		 →
↑
1 053.57 m
↓
↑
1 053.57 m
↓
S 30.410782°
W  6.811523°		 ← 1 053.56 m →
1 110 060 m²		 S 30.410782°
W  6.800537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15764 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19291 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481094360351562 y=0.588729858398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481094360351562 × 215)
    floor (0.481094360351562 × 32768)
    floor (15764.5)     		tx = 15764
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588729858398438 × 215)
    floor (0.588729858398438 × 32768)
    floor (19291.5)     		ty = 19291
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15764 / 19291 ti = "15/15764/19291"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15764/19291.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15764 ÷ 215
    15764 ÷ 32768     		x = 0.4810791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19291 ÷ 215
    19291 ÷ 32768     		y = 0.588714599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4810791015625 × 2 - 1) × π
    -0.037841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11888351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588714599609375 × 2 - 1) × π
    -0.17742919921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.557410268782013
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11888351} λ = -0.11888351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.557410268782013))-π/2
    2×atan(0.572690258914183)-π/2
    2×0.520096715570259-π/2
    1.04019343114052-1.57079632675     		φ = -0.53060290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11888351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.811523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53060290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.401307°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15764 KachelY 19291 -0.11888351 -0.53060290 -6.811523 -30.401307
    Oben rechts KachelX + 1 15765 KachelY 19291 -0.11869176 -0.53060290 -6.800537 -30.401307
    Unten links KachelX 15764 KachelY + 1 19292 -0.11888351 -0.53076827 -6.811523 -30.410782
    Unten rechts KachelX + 1 15765 KachelY + 1 19292 -0.11869176 -0.53076827 -6.800537 -30.410782
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53060290--0.53076827) × R
    0.000165370000000054 × 6371000     		dl = 1053.57227000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53060290--0.53076827) × R
    0.000165370000000054 × 6371000     		dr = 1053.57227000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11888351--0.11869176) × cos(-0.53060290) × R
    0.000191750000000004 × 0.862502127671633 × 6371000     		do = 1053.6664523722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11888351--0.11869176) × cos(-0.53076827) × R
    0.000191750000000004 × 0.862418429821831 × 6371000     		du = 1053.56420379374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53060290)-sin(-0.53076827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.862502127671633-0.862418429821831)×R²
    abs(-0.11869176--0.11888351)×8.36978498016672e-05×R²
    0.000191750000000004×8.36978498016672e-05×6371000²
    0.000191750000000004×8.36978498016672e-05×40589641000000     		ar = 1110059.89544537m²