Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15763 / 7284
↖ ↑ ↗
← N 70.185103°
W  6.822510°		 ← 414.11 m → N 70.185103°
W  6.811523°		 →
↑
414.18 m
↓
↑
414.18 m
↓
N 70.181378°
W  6.822510°		 ← 414.19 m →
171 533 m²		 N 70.181378°
W  6.811523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15763 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481063842773438 y=0.222305297851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481063842773438 × 215)
    floor (0.481063842773438 × 32768)
    floor (15763.5)     		tx = 15763
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222305297851562 × 215)
    floor (0.222305297851562 × 32768)
    floor (7284.5)     		ty = 7284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15763 / 7284 ti = "15/15763/7284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15763/7284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15763 ÷ 215
    15763 ÷ 32768     		x = 0.481048583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7284 ÷ 215
    7284 ÷ 32768     		y = 0.2222900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481048583984375 × 2 - 1) × π
    -0.03790283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.11907526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2222900390625 × 2 - 1) × π
    0.555419921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.74490314617004
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11907526} λ = -0.11907526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74490314617004))-π/2
    2×atan(5.72534692678897)-π/2
    2×1.39787872785155-π/2
    2.7957574557031-1.57079632675     		φ = 1.22496113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11907526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.822510°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22496113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.185103°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15763 KachelY 7284 -0.11907526 1.22496113 -6.822510 70.185103
    Oben rechts KachelX + 1 15764 KachelY 7284 -0.11888351 1.22496113 -6.811523 70.185103
    Unten links KachelX 15763 KachelY + 1 7285 -0.11907526 1.22489612 -6.822510 70.181378
    Unten rechts KachelX + 1 15764 KachelY + 1 7285 -0.11888351 1.22489612 -6.811523 70.181378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22496113-1.22489612) × R
    6.5010000000143e-05 × 6371000     		dl = 414.178710000911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22496113-1.22489612) × R
    6.5010000000143e-05 × 6371000     		dr = 414.178710000911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11907526--0.11888351) × cos(1.22496113) × R
    0.000191750000000004 × 0.338982542403024 × 6371000     		do = 414.114378864333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11907526--0.11888351) × cos(1.22489612) × R
    0.000191750000000004 × 0.339043702617723 × 6371000     		du = 414.189094583147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22496113)-sin(1.22489612))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338982542403024-0.339043702617723)×R²
    abs(-0.11888351--0.11907526)×6.11602146988743e-05×R²
    0.000191750000000004×6.11602146988743e-05×6371000²
    0.000191750000000004×6.11602146988743e-05×40589641000000     		ar = 171532.832121046m²