Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15763 / 19411
↖ ↑ ↗
← S 31.531726°
W  6.822510°		 ← 1 041.27 m → S 31.531726°
W  6.811523°		 →
↑
1 041.21 m
↓
↑
1 041.21 m
↓
S 31.541090°
W  6.822510°		 ← 1 041.16 m →
1 084 124 m²		 S 31.541090°
W  6.811523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15763 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481063842773438 y=0.592391967773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481063842773438 × 215)
    floor (0.481063842773438 × 32768)
    floor (15763.5)     		tx = 15763
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592391967773438 × 215)
    floor (0.592391967773438 × 32768)
    floor (19411.5)     		ty = 19411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15763 / 19411 ti = "15/15763/19411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15763/19411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15763 ÷ 215
    15763 ÷ 32768     		x = 0.481048583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19411 ÷ 215
    19411 ÷ 32768     		y = 0.592376708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481048583984375 × 2 - 1) × π
    -0.03790283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.11907526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592376708984375 × 2 - 1) × π
    -0.18475341796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.58041998059964
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11907526} λ = -0.11907526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.58041998059964))-π/2
    2×atan(0.559663269485236)-π/2
    2×0.510231943375017-π/2
    1.02046388675003-1.57079632675     		φ = -0.55033244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11907526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.822510°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55033244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.531726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15763 KachelY 19411 -0.11907526 -0.55033244 -6.822510 -31.531726
    Oben rechts KachelX + 1 15764 KachelY 19411 -0.11888351 -0.55033244 -6.811523 -31.531726
    Unten links KachelX 15763 KachelY + 1 19412 -0.11907526 -0.55049587 -6.822510 -31.541090
    Unten rechts KachelX + 1 15764 KachelY + 1 19412 -0.11888351 -0.55049587 -6.811523 -31.541090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55033244--0.55049587) × R
    0.000163429999999964 × 6371000     		dl = 1041.21252999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55033244--0.55049587) × R
    0.000163429999999964 × 6371000     		dr = 1041.21252999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11907526--0.11888351) × cos(-0.55033244) × R
    0.000191750000000004 × 0.85235071281137 × 6371000     		do = 1041.26508553587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11907526--0.11888351) × cos(-0.55049587) × R
    0.000191750000000004 × 0.852265232341547 × 6371000     		du = 1041.16065923883m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55033244)-sin(-0.55049587))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.85235071281137-0.852265232341547)×R²
    abs(-0.11888351--0.11907526)×8.54804698233735e-05×R²
    0.000191750000000004×8.54804698233735e-05×6371000²
    0.000191750000000004×8.54804698233735e-05×40589641000000     		ar = 1084123.89153998m²