Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15761 / 19263
↖ ↑ ↗
← S 30.135626°
W  6.844482°		 ← 1 056.47 m → S 30.135626°
W  6.833496°		 →
↑
1 056.44 m
↓
↑
1 056.44 m
↓
S 30.145127°
W  6.844482°		 ← 1 056.36 m →
1 116 039 m²		 S 30.145127°
W  6.833496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481002807617188 y=0.587875366210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481002807617188 × 215)
    floor (0.481002807617188 × 32768)
    floor (15761.5)     		tx = 15761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587875366210938 × 215)
    floor (0.587875366210938 × 32768)
    floor (19263.5)     		ty = 19263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15761 / 19263 ti = "15/15761/19263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15761/19263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15761 ÷ 215
    15761 ÷ 32768     		x = 0.480987548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19263 ÷ 215
    19263 ÷ 32768     		y = 0.587860107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480987548828125 × 2 - 1) × π
    -0.03802490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11945875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587860107421875 × 2 - 1) × π
    -0.17572021484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.552041336024567
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11945875} λ = -0.11945875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.552041336024567))-π/2
    2×atan(0.575773263220802)-π/2
    2×0.522415213462437-π/2
    1.04483042692487-1.57079632675     		φ = -0.52596590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11945875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.844482°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52596590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.135626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15761 KachelY 19263 -0.11945875 -0.52596590 -6.844482 -30.135626
    Oben rechts KachelX + 1 15762 KachelY 19263 -0.11926701 -0.52596590 -6.833496 -30.135626
    Unten links KachelX 15761 KachelY + 1 19264 -0.11945875 -0.52613172 -6.844482 -30.145127
    Unten rechts KachelX + 1 15762 KachelY + 1 19264 -0.11926701 -0.52613172 -6.833496 -30.145127
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52596590--0.52613172) × R
    0.000165819999999983 × 6371000     		dl = 1056.43921999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52596590--0.52613172) × R
    0.000165819999999983 × 6371000     		dr = 1056.43921999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11945875--0.11926701) × cos(-0.52596590) × R
    0.000191739999999996 × 0.864839416399508 × 6371000     		do = 1056.46667710149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11945875--0.11926701) × cos(-0.52613172) × R
    0.000191739999999996 × 0.864756154813241 × 6371000     		du = 1056.36496678429m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52596590)-sin(-0.52613172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864839416399508-0.864756154813241)×R²
    abs(-0.11926701--0.11945875)×8.3261586266925e-05×R²
    0.000191739999999996×8.3261586266925e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.3261586266925e-05×40589641000000     		ar = 1116039.10948576m²