Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15760 / 7311
↖ ↑ ↗
← N 70.084305°
W  6.855469°		 ← 416.14 m → N 70.084305°
W  6.844482°		 →
↑
416.15 m
↓
↑
416.15 m
↓
N 70.080562°
W  6.855469°		 ← 416.21 m →
173 192 m²		 N 70.080562°
W  6.844482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480972290039062 y=0.223129272460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480972290039062 × 215)
    floor (0.480972290039062 × 32768)
    floor (15760.5)     		tx = 15760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223129272460938 × 215)
    floor (0.223129272460938 × 32768)
    floor (7311.5)     		ty = 7311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15760 / 7311 ti = "15/15760/7311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15760/7311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15760 ÷ 215
    15760 ÷ 32768     		x = 0.48095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7311 ÷ 215
    7311 ÷ 32768     		y = 0.223114013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48095703125 × 2 - 1) × π
    -0.0380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11965050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223114013671875 × 2 - 1) × π
    0.55377197265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.73972596101108
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11965050} λ = -0.11965050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73972596101108))-π/2
    2×atan(5.69578234234911)-π/2
    2×1.39699910016337-π/2
    2.79399820032675-1.57079632675     		φ = 1.22320187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11965050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.855469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22320187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.084305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15760 KachelY 7311 -0.11965050 1.22320187 -6.855469 70.084305
    Oben rechts KachelX + 1 15761 KachelY 7311 -0.11945875 1.22320187 -6.844482 70.084305
    Unten links KachelX 15760 KachelY + 1 7312 -0.11965050 1.22313655 -6.855469 70.080562
    Unten rechts KachelX + 1 15761 KachelY + 1 7312 -0.11945875 1.22313655 -6.844482 70.080562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22320187-1.22313655) × R
    6.53200000000353e-05 × 6371000     		dl = 416.153720000225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22320187-1.22313655) × R
    6.53200000000353e-05 × 6371000     		dr = 416.153720000225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11965050--0.11945875) × cos(1.22320187) × R
    0.000191750000000004 × 0.340637115876065 × 6371000     		do = 416.135670761009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11965050--0.11945875) × cos(1.22313655) × R
    0.000191750000000004 × 0.340698528676901 × 6371000     		du = 416.210695048963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22320187)-sin(1.22313655))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340637115876065-0.340698528676901)×R²
    abs(-0.11945875--0.11965050)×6.14128008362136e-05×R²
    0.000191750000000004×6.14128008362136e-05×6371000²
    0.000191750000000004×6.14128008362136e-05×40589641000000     		ar = 173192.018291874m²