Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15760 / 7303
↖ ↑ ↗
← N 70.114222°
W  6.855469°		 ← 415.54 m → N 70.114222°
W  6.844482°		 →
↑
415.58 m
↓
↑
415.58 m
↓
N 70.110485°
W  6.855469°		 ← 415.61 m →
172 704 m²		 N 70.110485°
W  6.844482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480972290039062 y=0.222885131835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480972290039062 × 215)
    floor (0.480972290039062 × 32768)
    floor (15760.5)     		tx = 15760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222885131835938 × 215)
    floor (0.222885131835938 × 32768)
    floor (7303.5)     		ty = 7303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15760 / 7303 ti = "15/15760/7303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15760/7303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15760 ÷ 215
    15760 ÷ 32768     		x = 0.48095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7303 ÷ 215
    7303 ÷ 32768     		y = 0.222869873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48095703125 × 2 - 1) × π
    -0.0380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11965050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222869873046875 × 2 - 1) × π
    0.55426025390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.74125994179892
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11965050} λ = -0.11965050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74125994179892))-π/2
    2×atan(5.70452626782624)-π/2
    2×1.39726017723138-π/2
    2.79452035446276-1.57079632675     		φ = 1.22372403
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11965050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.855469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22372403 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.114222°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15760 KachelY 7303 -0.11965050 1.22372403 -6.855469 70.114222
    Oben rechts KachelX + 1 15761 KachelY 7303 -0.11945875 1.22372403 -6.844482 70.114222
    Unten links KachelX 15760 KachelY + 1 7304 -0.11965050 1.22365880 -6.855469 70.110485
    Unten rechts KachelX + 1 15761 KachelY + 1 7304 -0.11945875 1.22365880 -6.844482 70.110485
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22372403-1.22365880) × R
    6.52300000001382e-05 × 6371000     		dl = 415.580330000881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22372403-1.22365880) × R
    6.52300000001382e-05 × 6371000     		dr = 415.580330000881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11965050--0.11945875) × cos(1.22372403) × R
    0.000191750000000004 × 0.340146137318151 × 6371000     		do = 415.535872083753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11965050--0.11945875) × cos(1.22365880) × R
    0.000191750000000004 × 0.340207477098405 × 6371000     		du = 415.610807166897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22372403)-sin(1.22365880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340146137318151-0.340207477098405)×R²
    abs(-0.11945875--0.11965050)×6.13397802538551e-05×R²
    0.000191750000000004×6.13397802538551e-05×6371000²
    0.000191750000000004×6.13397802538551e-05×40589641000000     		ar = 172704.105681845m²