Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15760 / 19302
↖ ↑ ↗
← S 30.505484°
W  6.855469°		 ← 1 052.54 m → S 30.505484°
W  6.844482°		 →
↑
1 052.49 m
↓
↑
1 052.49 m
↓
S 30.514949°
W  6.855469°		 ← 1 052.44 m →
1 107 734 m²		 S 30.514949°
W  6.844482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19302 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480972290039062 y=0.589065551757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480972290039062 × 215)
    floor (0.480972290039062 × 32768)
    floor (15760.5)     		tx = 15760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589065551757812 × 215)
    floor (0.589065551757812 × 32768)
    floor (19302.5)     		ty = 19302
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15760 / 19302 ti = "15/15760/19302"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15760/19302.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15760 ÷ 215
    15760 ÷ 32768     		x = 0.48095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19302 ÷ 215
    19302 ÷ 32768     		y = 0.58905029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48095703125 × 2 - 1) × π
    -0.0380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11965050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58905029296875 × 2 - 1) × π
    -0.1781005859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.559519492365295
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11965050} λ = -0.11965050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.559519492365295))-π/2
    2×atan(0.571483600118111)-π/2
    2×0.519187596429139-π/2
    1.03837519285828-1.57079632675     		φ = -0.53242113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11965050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.855469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53242113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.505484°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15760 KachelY 19302 -0.11965050 -0.53242113 -6.855469 -30.505484
    Oben rechts KachelX + 1 15761 KachelY 19302 -0.11945875 -0.53242113 -6.844482 -30.505484
    Unten links KachelX 15760 KachelY + 1 19303 -0.11965050 -0.53258633 -6.855469 -30.514949
    Unten rechts KachelX + 1 15761 KachelY + 1 19303 -0.11945875 -0.53258633 -6.844482 -30.514949
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53242113--0.53258633) × R
    0.000165199999999976 × 6371000     		dl = 1052.48919999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53242113--0.53258633) × R
    0.000165199999999976 × 6371000     		dr = 1052.48919999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11965050--0.11945875) × cos(-0.53242113) × R
    0.000191750000000004 × 0.861580580941742 × 6371000     		do = 1052.54065471626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11965050--0.11945875) × cos(-0.53258633) × R
    0.000191750000000004 × 0.861496710225026 × 6371000     		du = 1052.43819495679m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53242113)-sin(-0.53258633))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.861580580941742-0.861496710225026)×R²
    abs(-0.11945875--0.11965050)×8.38707167163388e-05×R²
    0.000191750000000004×8.38707167163388e-05×6371000²
    0.000191750000000004×8.38707167163388e-05×40589641000000     		ar = 1107733.75527426m²