Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1576 / 1543
↖ ↑ ↗
← S 66.998844°
E 97.031250°		 ← 7 637.58 m → S 66.998844°
E 97.207031°		 →
↑
7 626.79 m
↓
↑
7 626.79 m
↓
S 67.067433°
E 97.031250°		 ← 7 616.04 m →
58 168 078 m²		 S 67.067433°
E 97.207031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769775390625 y=0.753662109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769775390625 × 211)
    floor (0.769775390625 × 2048)
    floor (1576.5)     		tx = 1576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753662109375 × 211)
    floor (0.753662109375 × 2048)
    floor (1543.5)     		ty = 1543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1576 / 1543 ti = "11/1576/1543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1576/1543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1576 ÷ 211
    1576 ÷ 2048     		x = 0.76953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1543 ÷ 211
    1543 ÷ 2048     		y = 0.75341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76953125 × 2 - 1) × π
    0.5390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.69351479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75341796875 × 2 - 1) × π
    -0.5068359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.59227205777979
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69351479} λ = 1.69351479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59227205777979))-π/2
    2×atan(0.203462806920307)-π/2
    2×0.200722953807751-π/2
    0.401445907615503-1.57079632675     		φ = -1.16935042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69351479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.031250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16935042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.998844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1576 KachelY 1543 1.69351479 -1.16935042 97.031250 -66.998844
    Oben rechts KachelX + 1 1577 KachelY 1543 1.69658275 -1.16935042 97.207031 -66.998844
    Unten links KachelX 1576 KachelY + 1 1544 1.69351479 -1.17054753 97.031250 -67.067433
    Unten rechts KachelX + 1 1577 KachelY + 1 1544 1.69658275 -1.17054753 97.207031 -67.067433
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16935042--1.17054753) × R
    0.00119710999999989 × 6371000     		dl = 7626.7878099993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16935042--1.17054753) × R
    0.00119710999999989 × 6371000     		dr = 7626.7878099993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69351479-1.69658275) × cos(-1.16935042) × R
    0.00306795999999987 × 0.390749703126382 × 6371000     		do = 7637.58320958591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69351479-1.69658275) × cos(-1.17054753) × R
    0.00306795999999987 × 0.389647487277031 × 6371000     		du = 7616.03932817797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16935042)-sin(-1.17054753))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390749703126382-0.389647487277031)×R²
    abs(1.69658275-1.69351479)×0.00110221584935116×R²
    0.00306795999999987×0.00110221584935116×6371000²
    0.00306795999999987×0.00110221584935116×40589641000000     		ar = 58168078.1612658m²