Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15759 / 9733
↖ ↑ ↗
← N 58.785285°
W  6.866455°		 ← 633.11 m → N 58.785285°
W  6.855469°		 →
↑
633.15 m
↓
↑
633.15 m
↓
N 58.779591°
W  6.866455°		 ← 633.21 m →
400 887 m²		 N 58.779591°
W  6.855469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15759 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9733 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480941772460938 y=0.297042846679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480941772460938 × 215)
    floor (0.480941772460938 × 32768)
    floor (15759.5)     		tx = 15759
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297042846679688 × 215)
    floor (0.297042846679688 × 32768)
    floor (9733.5)     		ty = 9733
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15759 / 9733 ti = "15/15759/9733"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15759/9733.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15759 ÷ 215
    15759 ÷ 32768     		x = 0.480926513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9733 ÷ 215
    9733 ÷ 32768     		y = 0.297027587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480926513671875 × 2 - 1) × π
    -0.03814697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11984225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297027587890625 × 2 - 1) × π
    0.40594482421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.27531327749197
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11984225} λ = -0.11984225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27531327749197))-π/2
    2×atan(3.57982271233406)-π/2
    2×1.29839655301355-π/2
    2.59679310602709-1.57079632675     		φ = 1.02599678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11984225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.866455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02599678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.785285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15759 KachelY 9733 -0.11984225 1.02599678 -6.866455 58.785285
    Oben rechts KachelX + 1 15760 KachelY 9733 -0.11965050 1.02599678 -6.855469 58.785285
    Unten links KachelX 15759 KachelY + 1 9734 -0.11984225 1.02589740 -6.866455 58.779591
    Unten rechts KachelX + 1 15760 KachelY + 1 9734 -0.11965050 1.02589740 -6.855469 58.779591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02599678-1.02589740) × R
    9.93799999999823e-05 × 6371000     		dl = 633.149979999887m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02599678-1.02589740) × R
    9.93799999999823e-05 × 6371000     		dr = 633.149979999887m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11984225--0.11965050) × cos(1.02599678) × R
    0.000191749999999991 × 0.518246667084052 × 6371000     		do = 633.110469691529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11984225--0.11965050) × cos(1.02589740) × R
    0.000191749999999991 × 0.518331657400588 × 6371000     		du = 633.21429719808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02599678)-sin(1.02589740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.518246667084052-0.518331657400588)×R²
    abs(-0.11965050--0.11984225)×8.49903165360821e-05×R²
    0.000191749999999991×8.49903165360821e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.49903165360821e-05×40589641000000     		ar = 400886.750744669m²