Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15759 / 7302
↖ ↑ ↗
← N 70.117958°
W  6.866455°		 ← 415.46 m → N 70.117958°
W  6.855469°		 →
↑
415.45 m
↓
↑
415.45 m
↓
N 70.114222°
W  6.866455°		 ← 415.54 m →
172 620 m²		 N 70.114222°
W  6.855469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15759 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7302 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480941772460938 y=0.222854614257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480941772460938 × 215)
    floor (0.480941772460938 × 32768)
    floor (15759.5)     		tx = 15759
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222854614257812 × 215)
    floor (0.222854614257812 × 32768)
    floor (7302.5)     		ty = 7302
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15759 / 7302 ti = "15/15759/7302"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15759/7302.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15759 ÷ 215
    15759 ÷ 32768     		x = 0.480926513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7302 ÷ 215
    7302 ÷ 32768     		y = 0.22283935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480926513671875 × 2 - 1) × π
    -0.03814697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11984225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22283935546875 × 2 - 1) × π
    0.5543212890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.7414516893974
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11984225} λ = -0.11984225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7414516893974))-π/2
    2×atan(5.70562020191482)-π/2
    2×1.3972927853941-π/2
    2.79458557078821-1.57079632675     		φ = 1.22378924
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11984225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.866455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22378924 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.117958°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15759 KachelY 7302 -0.11984225 1.22378924 -6.866455 70.117958
    Oben rechts KachelX + 1 15760 KachelY 7302 -0.11965050 1.22378924 -6.855469 70.117958
    Unten links KachelX 15759 KachelY + 1 7303 -0.11984225 1.22372403 -6.866455 70.114222
    Unten rechts KachelX + 1 15760 KachelY + 1 7303 -0.11965050 1.22372403 -6.855469 70.114222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22378924-1.22372403) × R
    6.52099999998157e-05 × 6371000     		dl = 415.452909998826m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22378924-1.22372403) × R
    6.52099999998157e-05 × 6371000     		dr = 415.452909998826m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11984225--0.11965050) × cos(1.22378924) × R
    0.000191749999999991 × 0.340084814898487 × 6371000     		do = 415.460958208956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11984225--0.11965050) × cos(1.22372403) × R
    0.000191749999999991 × 0.340146137318151 × 6371000     		du = 415.535872083723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22378924)-sin(1.22372403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340084814898487-0.340146137318151)×R²
    abs(-0.11965050--0.11984225)×6.1322419663945e-05×R²
    0.000191749999999991×6.1322419663945e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.1322419663945e-05×40589641000000     		ar = 172620.025733782m²