Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15758 / 9914
↖ ↑ ↗
← N 57.739350°
W  6.877442°		 ← 652.08 m → N 57.739350°
W  6.866455°		 →
↑
652.14 m
↓
↑
652.14 m
↓
N 57.733485°
W  6.877442°		 ← 652.18 m →
425 277 m²		 N 57.733485°
W  6.866455°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15758 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9914 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480911254882812 y=0.302566528320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480911254882812 × 215)
    floor (0.480911254882812 × 32768)
    floor (15758.5)     		tx = 15758
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302566528320312 × 215)
    floor (0.302566528320312 × 32768)
    floor (9914.5)     		ty = 9914
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15758 / 9914 ti = "15/15758/9914"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15758/9914.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15758 ÷ 215
    15758 ÷ 32768     		x = 0.48089599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9914 ÷ 215
    9914 ÷ 32768     		y = 0.30255126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48089599609375 × 2 - 1) × π
    -0.0382080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12003400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30255126953125 × 2 - 1) × π
    0.3948974609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.24060696216705
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12003400} λ = -0.12003400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24060696216705))-π/2
    2×atan(3.45771152805786)-π/2
    2×1.28926904175966-π/2
    2.57853808351932-1.57079632675     		φ = 1.00774176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12003400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.877442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00774176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.739350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15758 KachelY 9914 -0.12003400 1.00774176 -6.877442 57.739350
    Oben rechts KachelX + 1 15759 KachelY 9914 -0.11984225 1.00774176 -6.866455 57.739350
    Unten links KachelX 15758 KachelY + 1 9915 -0.12003400 1.00763940 -6.877442 57.733485
    Unten rechts KachelX + 1 15759 KachelY + 1 9915 -0.11984225 1.00763940 -6.866455 57.733485
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00774176-1.00763940) × R
    0.000102360000000079 × 6371000     		dl = 652.135560000504m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00774176-1.00763940) × R
    0.000102360000000079 × 6371000     		dr = 652.135560000504m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12003400--0.11984225) × cos(1.00774176) × R
    0.000191750000000004 × 0.533771713143133 × 6371000     		do = 652.076475315407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12003400--0.11984225) × cos(1.00763940) × R
    0.000191750000000004 × 0.533858268891924 × 6371000     		du = 652.182215215444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00774176)-sin(1.00763940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.533771713143133-0.533858268891924)×R²
    abs(-0.11984225--0.12003400)×8.65557487916835e-05×R²
    0.000191750000000004×8.65557487916835e-05×6371000²
    0.000191750000000004×8.65557487916835e-05×40589641000000     		ar = 425276.736139591m²