Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15758 / 19284
↖ ↑ ↗
← S 30.334954°
W  6.877442°		 ← 1 054.38 m → S 30.334954°
W  6.866455°		 →
↑
1 054.34 m
↓
↑
1 054.34 m
↓
S 30.344436°
W  6.877442°		 ← 1 054.28 m →
1 111 620 m²		 S 30.344436°
W  6.866455°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15758 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480911254882812 y=0.588516235351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480911254882812 × 215)
    floor (0.480911254882812 × 32768)
    floor (15758.5)     		tx = 15758
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588516235351562 × 215)
    floor (0.588516235351562 × 32768)
    floor (19284.5)     		ty = 19284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15758 / 19284 ti = "15/15758/19284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15758/19284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15758 ÷ 215
    15758 ÷ 32768     		x = 0.48089599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19284 ÷ 215
    19284 ÷ 32768     		y = 0.5885009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48089599609375 × 2 - 1) × π
    -0.0382080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12003400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5885009765625 × 2 - 1) × π
    -0.177001953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.556068035592651
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12003400} λ = -0.12003400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.556068035592651))-π/2
    2×atan(0.573459458894311)-π/2
    2×0.520675751563639-π/2
    1.04135150312728-1.57079632675     		φ = -0.52944482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12003400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.877442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52944482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.334954°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15758 KachelY 19284 -0.12003400 -0.52944482 -6.877442 -30.334954
    Oben rechts KachelX + 1 15759 KachelY 19284 -0.11984225 -0.52944482 -6.866455 -30.334954
    Unten links KachelX 15758 KachelY + 1 19285 -0.12003400 -0.52961031 -6.877442 -30.344436
    Unten rechts KachelX + 1 15759 KachelY + 1 19285 -0.11984225 -0.52961031 -6.866455 -30.344436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52944482--0.52961031) × R
    0.00016548999999999 × 6371000     		dl = 1054.33678999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52944482--0.52961031) × R
    0.00016548999999999 × 6371000     		dr = 1054.33678999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12003400--0.11984225) × cos(-0.52944482) × R
    0.000191750000000004 × 0.863087599531434 × 6371000     		do = 1054.38168777591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12003400--0.11984225) × cos(-0.52961031) × R
    0.000191750000000004 × 0.863004006285304 × 6371000     		du = 1054.2795669854m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52944482)-sin(-0.52961031))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863087599531434-0.863004006285304)×R²
    abs(-0.11984225--0.12003400)×8.35932461302757e-05×R²
    0.000191750000000004×8.35932461302757e-05×6371000²
    0.000191750000000004×8.35932461302757e-05×40589641000000     		ar = 1111619.57180883m²