Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15757 / 9738
↖ ↑ ↗
← N 58.756805°
W  6.888427°		 ← 633.60 m → N 58.756805°
W  6.877442°		 →
↑
633.66 m
↓
↑
633.66 m
↓
N 58.751107°
W  6.888427°		 ← 633.70 m →
401 518 m²		 N 58.751107°
W  6.877442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15757 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9738 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480880737304688 y=0.297195434570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480880737304688 × 215)
    floor (0.480880737304688 × 32768)
    floor (15757.5)     		tx = 15757
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297195434570312 × 215)
    floor (0.297195434570312 × 32768)
    floor (9738.5)     		ty = 9738
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15757 / 9738 ti = "15/15757/9738"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15757/9738.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15757 ÷ 215
    15757 ÷ 32768     		x = 0.480865478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9738 ÷ 215
    9738 ÷ 32768     		y = 0.29718017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480865478515625 × 2 - 1) × π
    -0.03826904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12022574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29718017578125 × 2 - 1) × π
    0.4056396484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.27435453949957
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12022574} λ = -0.12022574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27435453949957))-π/2
    2×atan(3.57639224501613)-π/2
    2×1.2981480197613-π/2
    2.59629603952259-1.57079632675     		φ = 1.02549971
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12022574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.888427°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02549971 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.756805°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15757 KachelY 9738 -0.12022574 1.02549971 -6.888427 58.756805
    Oben rechts KachelX + 1 15758 KachelY 9738 -0.12003400 1.02549971 -6.877442 58.756805
    Unten links KachelX 15757 KachelY + 1 9739 -0.12022574 1.02540025 -6.888427 58.751107
    Unten rechts KachelX + 1 15758 KachelY + 1 9739 -0.12003400 1.02540025 -6.877442 58.751107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02549971-1.02540025) × R
    9.94600000001622e-05 × 6371000     		dl = 633.659660001033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02549971-1.02540025) × R
    9.94600000001622e-05 × 6371000     		dr = 633.659660001033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12022574--0.12003400) × cos(1.02549971) × R
    0.000191739999999996 × 0.518671712811411 × 6371000     		do = 633.596677660311m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12022574--0.12003400) × cos(1.02540025) × R
    0.000191739999999996 × 0.51875674590833 × 6371000     		du = 633.700552011598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02549971)-sin(1.02540025))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.518671712811411-0.51875674590833)×R²
    abs(-0.12003400--0.12022574)×8.5033096919207e-05×R²
    0.000191739999999996×8.5033096919207e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.5033096919207e-05×40589641000000     		ar = 401517.56616777m²