Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 15757 / 9661
↖ ↑ ↗
← N 77.545650°
W 93.444214°		 ← 131.72 m → N 77.545650°
W 93.438721°		 →
↑
131.75 m
↓
↑
131.75 m
↓
N 77.544466°
W 93.444214°		 ← 131.74 m →
17 356 m²		 N 77.544466°
W 93.438721°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15757 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9661 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.240440368652344 y=0.147422790527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.240440368652344 × 216)
    floor (0.240440368652344 × 65536)
    floor (15757.5)     		tx = 15757
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147422790527344 × 216)
    floor (0.147422790527344 × 65536)
    floor (9661.5)     		ty = 9661
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 15757 / 9661 ti = "16/15757/9661"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/15757/9661.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15757 ÷ 216
    15757 ÷ 65536     		x = 0.240432739257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9661 ÷ 216
    9661 ÷ 65536     		y = 0.147415161132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.240432739257812 × 2 - 1) × π
    -0.519134521484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.63090920
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147415161132812 × 2 - 1) × π
    0.705169677734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.21535587904128
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.63090920} λ = -1.63090920}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21535587904128))-π/2
    2×atan(9.16467004531474)-π/2
    2×1.46211162390958-π/2
    2.92422324781916-1.57079632675     		φ = 1.35342692
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.63090920} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -93.444214°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35342692 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.545650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15757 KachelY 9661 -1.63090920 1.35342692 -93.444214 77.545650
    Oben rechts KachelX + 1 15758 KachelY 9661 -1.63081333 1.35342692 -93.438721 77.545650
    Unten links KachelX 15757 KachelY + 1 9662 -1.63090920 1.35340624 -93.444214 77.544466
    Unten rechts KachelX + 1 15758 KachelY + 1 9662 -1.63081333 1.35340624 -93.438721 77.544466
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35342692-1.35340624) × R
    2.06799999999951e-05 × 6371000     		dl = 131.752279999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35342692-1.35340624) × R
    2.06799999999951e-05 × 6371000     		dr = 131.752279999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.63090920--1.63081333) × cos(1.35342692) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.215661681766306 × 6371000     		do = 131.723517680489m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.63090920--1.63081333) × cos(1.35340624) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.215681875081436 × 6371000     		du = 131.735851510406m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35342692)-sin(1.35340624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215661681766306-0.215681875081436)×R²
    abs(-1.63081333--1.63090920)×2.01933151306177e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.01933151306177e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.01933151306177e-05×40589641000000     		ar = 17355.68628937m²