Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15757 / 19282
↖ ↑ ↗
← S 30.315988°
W  6.888427°		 ← 1 054.53 m → S 30.315988°
W  6.877442°		 →
↑
1 054.53 m
↓
↑
1 054.53 m
↓
S 30.325471°
W  6.888427°		 ← 1 054.43 m →
1 111 978 m²		 S 30.325471°
W  6.877442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15757 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480880737304688 y=0.588455200195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480880737304688 × 215)
    floor (0.480880737304688 × 32768)
    floor (15757.5)     		tx = 15757
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588455200195312 × 215)
    floor (0.588455200195312 × 32768)
    floor (19282.5)     		ty = 19282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15757 / 19282 ti = "15/15757/19282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15757/19282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15757 ÷ 215
    15757 ÷ 32768     		x = 0.480865478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19282 ÷ 215
    19282 ÷ 32768     		y = 0.58843994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480865478515625 × 2 - 1) × π
    -0.03826904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12022574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58843994140625 × 2 - 1) × π
    -0.1768798828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.555684540395691
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12022574} λ = -0.12022574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.555684540395691))-π/2
    2×atan(0.57367942001677)-π/2
    2×0.520841262562804-π/2
    1.04168252512561-1.57079632675     		φ = -0.52911380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12022574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.888427°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52911380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.315988°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15757 KachelY 19282 -0.12022574 -0.52911380 -6.888427 -30.315988
    Oben rechts KachelX + 1 15758 KachelY 19282 -0.12003400 -0.52911380 -6.877442 -30.315988
    Unten links KachelX 15757 KachelY + 1 19283 -0.12022574 -0.52927932 -6.888427 -30.325471
    Unten rechts KachelX + 1 15758 KachelY + 1 19283 -0.12003400 -0.52927932 -6.877442 -30.325471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52911380--0.52927932) × R
    0.00016552000000003 × 6371000     		dl = 1054.52792000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52911380--0.52927932) × R
    0.00016552000000003 × 6371000     		dr = 1054.52792000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12022574--0.12003400) × cos(-0.52911380) × R
    0.000191739999999996 × 0.863254735300163 × 6371000     		do = 1054.53086943183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12022574--0.12003400) × cos(-0.52927932) × R
    0.000191739999999996 × 0.86317117418935 × 6371000     		du = 1054.42879322277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52911380)-sin(-0.52927932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863254735300163-0.86317117418935)×R²
    abs(-0.12003400--0.12022574)×8.35611108124246e-05×R²
    0.000191739999999996×8.35611108124246e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.35611108124246e-05×40589641000000     		ar = 1111978.42575024m²