Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15757 / 19265
↖ ↑ ↗
← S 30.154627°
W  6.888427°		 ← 1 056.26 m → S 30.154627°
W  6.877442°		 →
↑
1 056.25 m
↓
↑
1 056.25 m
↓
S 30.164126°
W  6.888427°		 ← 1 056.16 m →
1 115 622 m²		 S 30.164126°
W  6.877442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15757 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480880737304688 y=0.587936401367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480880737304688 × 215)
    floor (0.480880737304688 × 32768)
    floor (15757.5)     		tx = 15757
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587936401367188 × 215)
    floor (0.587936401367188 × 32768)
    floor (19265.5)     		ty = 19265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15757 / 19265 ti = "15/15757/19265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15757/19265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15757 ÷ 215
    15757 ÷ 32768     		x = 0.480865478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19265 ÷ 215
    19265 ÷ 32768     		y = 0.587921142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480865478515625 × 2 - 1) × π
    -0.03826904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12022574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587921142578125 × 2 - 1) × π
    -0.17584228515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.552424831221527
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12022574} λ = -0.12022574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.552424831221527))-π/2
    2×atan(0.575552499273481)-π/2
    2×0.522249398547251-π/2
    1.0444987970945-1.57079632675     		φ = -0.52629753
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12022574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.888427°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52629753 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.154627°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15757 KachelY 19265 -0.12022574 -0.52629753 -6.888427 -30.154627
    Oben rechts KachelX + 1 15758 KachelY 19265 -0.12003400 -0.52629753 -6.877442 -30.154627
    Unten links KachelX 15757 KachelY + 1 19266 -0.12022574 -0.52646332 -6.888427 -30.164126
    Unten rechts KachelX + 1 15758 KachelY + 1 19266 -0.12003400 -0.52646332 -6.877442 -30.164126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52629753--0.52646332) × R
    0.000165789999999943 × 6371000     		dl = 1056.24808999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52629753--0.52646332) × R
    0.000165789999999943 × 6371000     		dr = 1056.24808999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12022574--0.12003400) × cos(-0.52629753) × R
    0.000191739999999996 × 0.864672874472757 × 6371000     		do = 1056.26323355739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12022574--0.12003400) × cos(-0.52646332) × R
    0.000191739999999996 × 0.864589580409435 × 6371000     		du = 1056.16148356701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52629753)-sin(-0.52646332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864672874472757-0.864589580409435)×R²
    abs(-0.12003400--0.12022574)×8.32940633227475e-05×R²
    0.000191739999999996×8.32940633227475e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.32940633227475e-05×40589641000000     		ar = 1115622.28892075m²