Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15756 / 9742
↖ ↑ ↗
← N 58.734005°
W  6.899414°		 ← 634.05 m → N 58.734005°
W  6.888427°		 →
↑
634.11 m
↓
↑
634.11 m
↓
N 58.728302°
W  6.899414°		 ← 634.15 m →
402 085 m²		 N 58.728302°
W  6.888427°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9742 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480850219726562 y=0.297317504882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480850219726562 × 215)
    floor (0.480850219726562 × 32768)
    floor (15756.5)     		tx = 15756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297317504882812 × 215)
    floor (0.297317504882812 × 32768)
    floor (9742.5)     		ty = 9742
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15756 / 9742 ti = "15/15756/9742"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15756/9742.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15756 ÷ 215
    15756 ÷ 32768     		x = 0.4808349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9742 ÷ 215
    9742 ÷ 32768     		y = 0.29730224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4808349609375 × 2 - 1) × π
    -0.038330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12041749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29730224609375 × 2 - 1) × π
    0.4053955078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.27358754910565
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12041749} λ = -0.12041749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27358754910565))-π/2
    2×atan(3.57365023820018)-π/2
    2×1.29794904642488-π/2
    2.59589809284976-1.57079632675     		φ = 1.02510177
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12041749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.899414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02510177 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.734005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15756 KachelY 9742 -0.12041749 1.02510177 -6.899414 58.734005
    Oben rechts KachelX + 1 15757 KachelY 9742 -0.12022574 1.02510177 -6.888427 58.734005
    Unten links KachelX 15756 KachelY + 1 9743 -0.12041749 1.02500224 -6.899414 58.728302
    Unten rechts KachelX + 1 15757 KachelY + 1 9743 -0.12022574 1.02500224 -6.888427 58.728302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02510177-1.02500224) × R
    9.95299999999588e-05 × 6371000     		dl = 634.105629999738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02510177-1.02500224) × R
    9.95299999999588e-05 × 6371000     		dr = 634.105629999738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12041749--0.12022574) × cos(1.02510177) × R
    0.000191750000000004 × 0.519011899882269 × 6371000     		do = 634.045308113265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12041749--0.12022574) × cos(1.02500224) × R
    0.000191750000000004 × 0.519096972272283 × 6371000     		du = 634.149235883997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02510177)-sin(1.02500224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.519011899882269-0.519096972272283)×R²
    abs(-0.12022574--0.12041749)×8.50723900139849e-05×R²
    0.000191750000000004×8.50723900139849e-05×6371000²
    0.000191750000000004×8.50723900139849e-05×40589641000000     		ar = 402084.650474203m²