Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15756 / 6804
↖ ↑ ↗
← N 71.897238°
W  6.899414°		 ← 379.59 m → N 71.897238°
W  6.888427°		 →
↑
379.65 m
↓
↑
379.65 m
↓
N 71.893824°
W  6.899414°		 ← 379.66 m →
144 124 m²		 N 71.893824°
W  6.888427°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480850219726562 y=0.207656860351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480850219726562 × 215)
    floor (0.480850219726562 × 32768)
    floor (15756.5)     		tx = 15756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207656860351562 × 215)
    floor (0.207656860351562 × 32768)
    floor (6804.5)     		ty = 6804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15756 / 6804 ti = "15/15756/6804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15756/6804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15756 ÷ 215
    15756 ÷ 32768     		x = 0.4808349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6804 ÷ 215
    6804 ÷ 32768     		y = 0.2076416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4808349609375 × 2 - 1) × π
    -0.038330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12041749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2076416015625 × 2 - 1) × π
    0.584716796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.83694199344055
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12041749} λ = -0.12041749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83694199344055))-π/2
    2×atan(6.27731281647247)-π/2
    2×1.41281992706071-π/2
    2.82563985412142-1.57079632675     		φ = 1.25484353
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12041749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.899414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25484353 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.897238°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15756 KachelY 6804 -0.12041749 1.25484353 -6.899414 71.897238
    Oben rechts KachelX + 1 15757 KachelY 6804 -0.12022574 1.25484353 -6.888427 71.897238
    Unten links KachelX 15756 KachelY + 1 6805 -0.12041749 1.25478394 -6.899414 71.893824
    Unten rechts KachelX + 1 15757 KachelY + 1 6805 -0.12022574 1.25478394 -6.888427 71.893824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25484353-1.25478394) × R
    5.95899999999983e-05 × 6371000     		dl = 379.647889999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25484353-1.25478394) × R
    5.95899999999983e-05 × 6371000     		dr = 379.647889999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12041749--0.12022574) × cos(1.25484353) × R
    0.000191750000000004 × 0.310722246203911 × 6371000     		do = 379.59049181087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12041749--0.12022574) × cos(1.25478394) × R
    0.000191750000000004 × 0.3107788859922 × 6371000     		du = 379.659685199355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25484353)-sin(1.25478394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.310722246203911-0.3107788859922)×R²
    abs(-0.12022574--0.12041749)×5.66397882889036e-05×R²
    0.000191750000000004×5.66397882889036e-05×6371000²
    0.000191750000000004×5.66397882889036e-05×40589641000000     		ar = 144123.863884799m²