Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15756 / 19281
↖ ↑ ↗
← S 30.306503°
W  6.899414°		 ← 1 054.69 m → S 30.306503°
W  6.888427°		 →
↑
1 054.59 m
↓
↑
1 054.59 m
↓
S 30.315988°
W  6.899414°		 ← 1 054.59 m →
1 112 211 m²		 S 30.315988°
W  6.888427°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480850219726562 y=0.588424682617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480850219726562 × 215)
    floor (0.480850219726562 × 32768)
    floor (15756.5)     		tx = 15756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588424682617188 × 215)
    floor (0.588424682617188 × 32768)
    floor (19281.5)     		ty = 19281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15756 / 19281 ti = "15/15756/19281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15756/19281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15756 ÷ 215
    15756 ÷ 32768     		x = 0.4808349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19281 ÷ 215
    19281 ÷ 32768     		y = 0.588409423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4808349609375 × 2 - 1) × π
    -0.038330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12041749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588409423828125 × 2 - 1) × π
    -0.17681884765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.555492792797211
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12041749} λ = -0.12041749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.555492792797211))-π/2
    2×atan(0.573789432214806)-π/2
    2×0.520924030078924-π/2
    1.04184806015785-1.57079632675     		φ = -0.52894827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12041749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.899414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52894827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.306503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15756 KachelY 19281 -0.12041749 -0.52894827 -6.899414 -30.306503
    Oben rechts KachelX + 1 15757 KachelY 19281 -0.12022574 -0.52894827 -6.888427 -30.306503
    Unten links KachelX 15756 KachelY + 1 19282 -0.12041749 -0.52911380 -6.899414 -30.315988
    Unten rechts KachelX + 1 15757 KachelY + 1 19282 -0.12022574 -0.52911380 -6.888427 -30.315988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52894827--0.52911380) × R
    0.000165529999999969 × 6371000     		dl = 1054.5916299998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52894827--0.52911380) × R
    0.000165529999999969 × 6371000     		dr = 1054.5916299998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12041749--0.12022574) × cos(-0.52894827) × R
    0.000191750000000004 × 0.863338277806753 × 6371000     		do = 1054.68792619616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12041749--0.12022574) × cos(-0.52911380) × R
    0.000191750000000004 × 0.863254735300163 × 6371000     		du = 1054.58586739106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52894827)-sin(-0.52911380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863338277806753-0.863254735300163)×R²
    abs(-0.12022574--0.12041749)×8.35425065905948e-05×R²
    0.000191750000000004×8.35425065905948e-05×6371000²
    0.000191750000000004×8.35425065905948e-05×40589641000000     		ar = 1112211.24658747m²