Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15756 / 19266
↖ ↑ ↗
← S 30.164126°
W  6.899414°		 ← 1 056.22 m → S 30.164126°
W  6.888427°		 →
↑
1 056.18 m
↓
↑
1 056.18 m
↓
S 30.173625°
W  6.899414°		 ← 1 056.11 m →
1 115 506 m²		 S 30.173625°
W  6.888427°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19266 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480850219726562 y=0.587966918945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480850219726562 × 215)
    floor (0.480850219726562 × 32768)
    floor (15756.5)     		tx = 15756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587966918945312 × 215)
    floor (0.587966918945312 × 32768)
    floor (19266.5)     		ty = 19266
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15756 / 19266 ti = "15/15756/19266"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15756/19266.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15756 ÷ 215
    15756 ÷ 32768     		x = 0.4808349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19266 ÷ 215
    19266 ÷ 32768     		y = 0.58795166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4808349609375 × 2 - 1) × π
    -0.038330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12041749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58795166015625 × 2 - 1) × π
    -0.1759033203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.552616578820007
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12041749} λ = -0.12041749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.552616578820007))-π/2
    2×atan(0.57544214904398)-π/2
    2×0.522166503066417-π/2
    1.04433300613283-1.57079632675     		φ = -0.52646332
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12041749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.899414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52646332 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.164126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15756 KachelY 19266 -0.12041749 -0.52646332 -6.899414 -30.164126
    Oben rechts KachelX + 1 15757 KachelY 19266 -0.12022574 -0.52646332 -6.888427 -30.164126
    Unten links KachelX 15756 KachelY + 1 19267 -0.12041749 -0.52662910 -6.899414 -30.173625
    Unten rechts KachelX + 1 15757 KachelY + 1 19267 -0.12022574 -0.52662910 -6.888427 -30.173625
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52646332--0.52662910) × R
    0.000165780000000004 × 6371000     		dl = 1056.18438000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52646332--0.52662910) × R
    0.000165780000000004 × 6371000     		dr = 1056.18438000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12041749--0.12022574) × cos(-0.52646332) × R
    0.000191750000000004 × 0.864589580409435 × 6371000     		do = 1056.21656656922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12041749--0.12022574) × cos(-0.52662910) × R
    0.000191750000000004 × 0.864506267607943 × 6371000     		du = 1056.11478838089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52646332)-sin(-0.52662910))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864589580409435-0.864506267607943)×R²
    abs(-0.12022574--0.12041749)×8.33128014917639e-05×R²
    0.000191750000000004×8.33128014917639e-05×6371000²
    0.000191750000000004×8.33128014917639e-05×40589641000000     		ar = 1115505.69379619m²