Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 15756 / 14492
↖ ↑ ↗
← N 70.326138°
W 93.449707°		 ← 205.63 m → N 70.326138°
W 93.444214°		 →
↑
205.66 m
↓
↑
205.66 m
↓
N 70.324288°
W 93.449707°		 ← 205.65 m →
42 291 m²		 N 70.324288°
W 93.444214°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14492 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.240425109863281 y=0.221138000488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.240425109863281 × 216)
    floor (0.240425109863281 × 65536)
    floor (15756.5)     		tx = 15756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221138000488281 × 216)
    floor (0.221138000488281 × 65536)
    floor (14492.5)     		ty = 14492
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 15756 / 14492 ti = "16/15756/14492"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/15756/14492.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15756 ÷ 216
    15756 ÷ 65536     		x = 0.24041748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14492 ÷ 216
    14492 ÷ 65536     		y = 0.22113037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.24041748046875 × 2 - 1) × π
    -0.5191650390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.63100507
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22113037109375 × 2 - 1) × π
    0.5577392578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.75218955491229
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.63100507} λ = -1.63100507}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75218955491229))-π/2
    2×atan(5.76721649885278)-π/2
    2×1.39910948604306-π/2
    2.79821897208611-1.57079632675     		φ = 1.22742265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.63100507} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -93.449707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22742265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.326138°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15756 KachelY 14492 -1.63100507 1.22742265 -93.449707 70.326138
    Oben rechts KachelX + 1 15757 KachelY 14492 -1.63090920 1.22742265 -93.444214 70.326138
    Unten links KachelX 15756 KachelY + 1 14493 -1.63100507 1.22739037 -93.449707 70.324288
    Unten rechts KachelX + 1 15757 KachelY + 1 14493 -1.63090920 1.22739037 -93.444214 70.324288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22742265-1.22739037) × R
    3.22800000001067e-05 × 6371000     		dl = 205.65588000068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22742265-1.22739037) × R
    3.22800000001067e-05 × 6371000     		dr = 205.65588000068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.63100507--1.63090920) × cos(1.22742265) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.336665737823446 × 6371000     		do = 205.631315240583m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.63100507--1.63090920) × cos(1.22739037) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.336696133278019 × 6371000     		du = 205.6498804125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22742265)-sin(1.22739037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336665737823446-0.336696133278019)×R²
    abs(-1.63090920--1.63100507)×3.03954545730067e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.03954545730067e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.03954545730067e-05×40589641000000     		ar = 42291.1981136335m²