Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15754 / 7309
↖ ↑ ↗
← N 70.091788°
W  6.921387°		 ← 415.99 m → N 70.091788°
W  6.910400°		 →
↑
416.03 m
↓
↑
416.03 m
↓
N 70.088047°
W  6.921387°		 ← 416.06 m →
173 077 m²		 N 70.088047°
W  6.910400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15754 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480789184570312 y=0.223068237304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480789184570312 × 215)
    floor (0.480789184570312 × 32768)
    floor (15754.5)     		tx = 15754
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223068237304688 × 215)
    floor (0.223068237304688 × 32768)
    floor (7309.5)     		ty = 7309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15754 / 7309 ti = "15/15754/7309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15754/7309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15754 ÷ 215
    15754 ÷ 32768     		x = 0.48077392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7309 ÷ 215
    7309 ÷ 32768     		y = 0.223052978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48077392578125 × 2 - 1) × π
    -0.0384521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12080099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223052978515625 × 2 - 1) × π
    0.55389404296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.74010945620804
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12080099} λ = -0.12080099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74010945620804))-π/2
    2×atan(5.69796706640915)-π/2
    2×1.39706440473765-π/2
    2.7941288094753-1.57079632675     		φ = 1.22333248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12080099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.921387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22333248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.091788°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15754 KachelY 7309 -0.12080099 1.22333248 -6.921387 70.091788
    Oben rechts KachelX + 1 15755 KachelY 7309 -0.12060924 1.22333248 -6.910400 70.091788
    Unten links KachelX 15754 KachelY + 1 7310 -0.12080099 1.22326718 -6.921387 70.088047
    Unten rechts KachelX + 1 15755 KachelY + 1 7310 -0.12060924 1.22326718 -6.910400 70.088047
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22333248-1.22326718) × R
    6.53000000001569e-05 × 6371000     		dl = 416.026300001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22333248-1.22326718) × R
    6.53000000001569e-05 × 6371000     		dr = 416.026300001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12080099--0.12060924) × cos(1.22333248) × R
    0.000191749999999991 × 0.340514314121643 × 6371000     		do = 415.985651317808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12080099--0.12060924) × cos(1.22326718) × R
    0.000191749999999991 × 0.340575711024003 × 6371000     		du = 416.060656183559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22333248)-sin(1.22326718))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340514314121643-0.340575711024003)×R²
    abs(-0.12060924--0.12080099)×6.13969023595118e-05×R²
    0.000191749999999991×6.13969023595118e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.13969023595118e-05×40589641000000     		ar = 173076.573431101m²