Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15752 / 19435
↖ ↑ ↗
← S 31.756196°
W  6.943359°		 ← 1 038.75 m → S 31.756196°
W  6.932373°		 →
↑
1 038.73 m
↓
↑
1 038.73 m
↓
S 31.765538°
W  6.943359°		 ← 1 038.65 m →
1 078 928 m²		 S 31.765538°
W  6.932373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19435 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480728149414062 y=0.593124389648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480728149414062 × 215)
    floor (0.480728149414062 × 32768)
    floor (15752.5)     		tx = 15752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593124389648438 × 215)
    floor (0.593124389648438 × 32768)
    floor (19435.5)     		ty = 19435
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15752 / 19435 ti = "15/15752/19435"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15752/19435.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15752 ÷ 215
    15752 ÷ 32768     		x = 0.480712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19435 ÷ 215
    19435 ÷ 32768     		y = 0.593109130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480712890625 × 2 - 1) × π
    -0.03857421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12118448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593109130859375 × 2 - 1) × π
    -0.18621826171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.585021922963165
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12118448} λ = -0.12118448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.585021922963165))-π/2
    2×atan(0.557093648534762)-π/2
    2×0.508273072102497-π/2
    1.01654614420499-1.57079632675     		φ = -0.55425018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12118448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.943359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55425018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.756196°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15752 KachelY 19435 -0.12118448 -0.55425018 -6.943359 -31.756196
    Oben rechts KachelX + 1 15753 KachelY 19435 -0.12099273 -0.55425018 -6.932373 -31.756196
    Unten links KachelX 15752 KachelY + 1 19436 -0.12118448 -0.55441322 -6.943359 -31.765538
    Unten rechts KachelX + 1 15753 KachelY + 1 19436 -0.12099273 -0.55441322 -6.932373 -31.765538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55425018--0.55441322) × R
    0.000163040000000003 × 6371000     		dl = 1038.72784000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55425018--0.55441322) × R
    0.000163040000000003 × 6371000     		dr = 1038.72784000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12118448--0.12099273) × cos(-0.55425018) × R
    0.000191749999999991 × 0.850295313938401 × 6371000     		do = 1038.75412959817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12118448--0.12099273) × cos(-0.55441322) × R
    0.000191749999999991 × 0.850209493726849 × 6371000     		du = 1038.6492882593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55425018)-sin(-0.55441322))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.850295313938401-0.850209493726849)×R²
    abs(-0.12099273--0.12118448)×8.58202115523454e-05×R²
    0.000191749999999991×8.58202115523454e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.58202115523454e-05×40589641000000     		ar = 1078928.38490991m²