Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15750 / 6798
↖ ↑ ↗
← N 71.917709°
W  6.965332°		 ← 379.18 m → N 71.917709°
W  6.954346°		 →
↑
379.20 m
↓
↑
379.20 m
↓
N 71.914299°
W  6.965332°		 ← 379.24 m →
143 797 m²		 N 71.914299°
W  6.954346°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6798 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480667114257812 y=0.207473754882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480667114257812 × 215)
    floor (0.480667114257812 × 32768)
    floor (15750.5)     		tx = 15750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207473754882812 × 215)
    floor (0.207473754882812 × 32768)
    floor (6798.5)     		ty = 6798
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15750 / 6798 ti = "15/15750/6798"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15750/6798.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15750 ÷ 215
    15750 ÷ 32768     		x = 0.48065185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6798 ÷ 215
    6798 ÷ 32768     		y = 0.20745849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48065185546875 × 2 - 1) × π
    -0.0386962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12156798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20745849609375 × 2 - 1) × π
    0.5850830078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.83809247903143
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12156798} λ = -0.12156798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83809247903143))-π/2
    2×atan(6.2845389303902)-π/2
    2×1.41299857009766-π/2
    2.82599714019531-1.57079632675     		φ = 1.25520081
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12156798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.965332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25520081 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.917709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15750 KachelY 6798 -0.12156798 1.25520081 -6.965332 71.917709
    Oben rechts KachelX + 1 15751 KachelY 6798 -0.12137623 1.25520081 -6.954346 71.917709
    Unten links KachelX 15750 KachelY + 1 6799 -0.12156798 1.25514129 -6.965332 71.914299
    Unten rechts KachelX + 1 15751 KachelY + 1 6799 -0.12137623 1.25514129 -6.954346 71.914299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25520081-1.25514129) × R
    5.95199999999796e-05 × 6371000     		dl = 379.20191999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25520081-1.25514129) × R
    5.95199999999796e-05 × 6371000     		dr = 379.20191999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12156798--0.12137623) × cos(1.25520081) × R
    0.000191750000000004 × 0.310382631469612 × 6371000     		do = 379.175605121571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12156798--0.12137623) × cos(1.25514129) × R
    0.000191750000000004 × 0.310439211328737 × 6371000     		du = 379.244725298239m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25520081)-sin(1.25514129))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.310382631469612-0.310439211328737)×R²
    abs(-0.12137623--0.12156798)×5.65798591256605e-05×R²
    0.000191750000000004×5.65798591256605e-05×6371000²
    0.000191750000000004×5.65798591256605e-05×40589641000000     		ar = 143797.222773575m²