Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15749 / 7305
↖ ↑ ↗
← N 70.106747°
W  6.976319°		 ← 415.69 m → N 70.106747°
W  6.965332°		 →
↑
415.71 m
↓
↑
415.71 m
↓
N 70.103008°
W  6.976319°		 ← 415.76 m →
172 819 m²		 N 70.103008°
W  6.965332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15749 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480636596679688 y=0.222946166992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480636596679688 × 215)
    floor (0.480636596679688 × 32768)
    floor (15749.5)     		tx = 15749
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222946166992188 × 215)
    floor (0.222946166992188 × 32768)
    floor (7305.5)     		ty = 7305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15749 / 7305 ti = "15/15749/7305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15749/7305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15749 ÷ 215
    15749 ÷ 32768     		x = 0.480621337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7305 ÷ 215
    7305 ÷ 32768     		y = 0.222930908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480621337890625 × 2 - 1) × π
    -0.03875732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12175973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222930908203125 × 2 - 1) × π
    0.55413818359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.74087644660196
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12175973} λ = -0.12175973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74087644660196))-π/2
    2×atan(5.70233902882622)-π/2
    2×1.39719494326428-π/2
    2.79438988652856-1.57079632675     		φ = 1.22359356
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12175973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.976319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22359356 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.106747°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15749 KachelY 7305 -0.12175973 1.22359356 -6.976319 70.106747
    Oben rechts KachelX + 1 15750 KachelY 7305 -0.12156798 1.22359356 -6.965332 70.106747
    Unten links KachelX 15749 KachelY + 1 7306 -0.12175973 1.22352831 -6.976319 70.103008
    Unten rechts KachelX + 1 15750 KachelY + 1 7306 -0.12156798 1.22352831 -6.965332 70.103008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22359356-1.22352831) × R
    6.52500000000167e-05 × 6371000     		dl = 415.707750000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22359356-1.22352831) × R
    6.52500000000167e-05 × 6371000     		dr = 415.707750000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12175973--0.12156798) × cos(1.22359356) × R
    0.000191749999999991 × 0.340268824834374 × 6371000     		do = 415.685751969025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12175973--0.12156798) × cos(1.22352831) × R
    0.000191749999999991 × 0.340330180525131 × 6371000     		du = 415.760706489065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22359356)-sin(1.22352831))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340268824834374-0.340330180525131)×R²
    abs(-0.12156798--0.12175973)×6.13556907572144e-05×R²
    0.000191749999999991×6.13556907572144e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.13556907572144e-05×40589641000000     		ar = 172819.368306971m²