Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15745 / 19785
↖ ↑ ↗
← S 34.966999°
W  7.020264°		 ← 1 001.11 m → S 34.966999°
W  7.009277°		 →
↑
1 001.08 m
↓
↑
1 001.08 m
↓
S 34.976002°
W  7.020264°		 ← 1 001 m →
1 002 133 m²		 S 34.976002°
W  7.009277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15745 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480514526367188 y=0.603805541992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480514526367188 × 215)
    floor (0.480514526367188 × 32768)
    floor (15745.5)     		tx = 15745
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.603805541992188 × 215)
    floor (0.603805541992188 × 32768)
    floor (19785.5)     		ty = 19785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15745 / 19785 ti = "15/15745/19785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15745/19785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15745 ÷ 215
    15745 ÷ 32768     		x = 0.480499267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19785 ÷ 215
    19785 ÷ 32768     		y = 0.603790283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480499267578125 × 2 - 1) × π
    -0.03900146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12252672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.603790283203125 × 2 - 1) × π
    -0.20758056640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.652133582431244
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12252672} λ = -0.12252672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.652133582431244))-π/2
    2×atan(0.520933136440412)-π/2
    2×0.480253533173467-π/2
    0.960507066346935-1.57079632675     		φ = -0.61028926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12252672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.020264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.61028926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.966999°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15745 KachelY 19785 -0.12252672 -0.61028926 -7.020264 -34.966999
    Oben rechts KachelX + 1 15746 KachelY 19785 -0.12233497 -0.61028926 -7.009277 -34.966999
    Unten links KachelX 15745 KachelY + 1 19786 -0.12252672 -0.61044639 -7.020264 -34.976002
    Unten rechts KachelX + 1 15746 KachelY + 1 19786 -0.12233497 -0.61044639 -7.009277 -34.976002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.61028926--0.61044639) × R
    0.000157130000000061 × 6371000     		dl = 1001.07523000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.61028926--0.61044639) × R
    0.000157130000000061 × 6371000     		dr = 1001.07523000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12252672--0.12233497) × cos(-0.61028926) × R
    0.000191750000000004 × 0.819482275915755 × 6371000     		do = 1001.11171293804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12252672--0.12233497) × cos(-0.61044639) × R
    0.000191750000000004 × 0.819392213885275 × 6371000     		du = 1001.00168962667m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.61028926)-sin(-0.61044639))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.819482275915755-0.819392213885275)×R²
    abs(-0.12233497--0.12252672)×9.00620304800093e-05×R²
    0.000191750000000004×9.00620304800093e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.00620304800093e-05×40589641000000     		ar = 1002133.06954215m²