Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15745 / 19768
↖ ↑ ↗
← S 34.813803°
W  7.020264°		 ← 1 002.98 m → S 34.813803°
W  7.009277°		 →
↑
1 002.92 m
↓
↑
1 002.92 m
↓
S 34.822823°
W  7.020264°		 ← 1 002.87 m →
1 005 857 m²		 S 34.822823°
W  7.009277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15745 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480514526367188 y=0.603286743164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480514526367188 × 215)
    floor (0.480514526367188 × 32768)
    floor (15745.5)     		tx = 15745
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.603286743164062 × 215)
    floor (0.603286743164062 × 32768)
    floor (19768.5)     		ty = 19768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15745 / 19768 ti = "15/15745/19768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15745/19768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15745 ÷ 215
    15745 ÷ 32768     		x = 0.480499267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19768 ÷ 215
    19768 ÷ 32768     		y = 0.603271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480499267578125 × 2 - 1) × π
    -0.03900146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12252672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.603271484375 × 2 - 1) × π
    -0.20654296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.64887387325708
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12252672} λ = -0.12252672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.64887387325708))-π/2
    2×atan(0.522633997614709)-π/2
    2×0.481590416892388-π/2
    0.963180833784775-1.57079632675     		φ = -0.60761549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12252672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.020264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60761549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.813803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15745 KachelY 19768 -0.12252672 -0.60761549 -7.020264 -34.813803
    Oben rechts KachelX + 1 15746 KachelY 19768 -0.12233497 -0.60761549 -7.009277 -34.813803
    Unten links KachelX 15745 KachelY + 1 19769 -0.12252672 -0.60777291 -7.020264 -34.822823
    Unten rechts KachelX + 1 15746 KachelY + 1 19769 -0.12233497 -0.60777291 -7.009277 -34.822823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60761549--0.60777291) × R
    0.000157419999999964 × 6371000     		dl = 1002.92281999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60761549--0.60777291) × R
    0.000157419999999964 × 6371000     		dr = 1002.92281999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12252672--0.12233497) × cos(-0.60761549) × R
    0.000191750000000004 × 0.821011694525983 × 6371000     		do = 1002.98011074197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12252672--0.12233497) × cos(-0.60777291) × R
    0.000191750000000004 × 0.820921811485024 × 6371000     		du = 1002.87030609123m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60761549)-sin(-0.60777291))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.821011694525983-0.820921811485024)×R²
    abs(-0.12233497--0.12252672)×8.98830409598039e-05×R²
    0.000191750000000004×8.98830409598039e-05×6371000²
    0.000191750000000004×8.98830409598039e-05×40589641000000     		ar = 1005856.58035114m²