Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15744 / 9686
↖ ↑ ↗
← N 59.051856°
W  7.031250°		 ← 628.21 m → N 59.051856°
W  7.020264°		 →
↑
628.31 m
↓
↑
628.31 m
↓
N 59.046206°
W  7.031250°		 ← 628.31 m →
394 742 m²		 N 59.046206°
W  7.020264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480484008789062 y=0.295608520507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480484008789062 × 215)
    floor (0.480484008789062 × 32768)
    floor (15744.5)     		tx = 15744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295608520507812 × 215)
    floor (0.295608520507812 × 32768)
    floor (9686.5)     		ty = 9686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15744 / 9686 ti = "15/15744/9686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15744/9686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15744 ÷ 215
    15744 ÷ 32768     		x = 0.48046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9686 ÷ 215
    9686 ÷ 32768     		y = 0.29559326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48046875 × 2 - 1) × π
    -0.0390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12271846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29559326171875 × 2 - 1) × π
    0.4088134765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.28432541462054
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12271846} λ = -0.12271846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28432541462054))-π/2
    2×atan(3.61223037733224)-π/2
    2×1.30072282325615-π/2
    2.6014456465123-1.57079632675     		φ = 1.03064932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12271846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.031250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03064932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.051856°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15744 KachelY 9686 -0.12271846 1.03064932 -7.031250 59.051856
    Oben rechts KachelX + 1 15745 KachelY 9686 -0.12252672 1.03064932 -7.020264 59.051856
    Unten links KachelX 15744 KachelY + 1 9687 -0.12271846 1.03055070 -7.031250 59.046206
    Unten rechts KachelX + 1 15745 KachelY + 1 9687 -0.12252672 1.03055070 -7.020264 59.046206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03064932-1.03055070) × R
    9.86199999999382e-05 × 6371000     		dl = 628.308019999606m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03064932-1.03055070) × R
    9.86199999999382e-05 × 6371000     		dr = 628.308019999606m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12271846--0.12252672) × cos(1.03064932) × R
    0.000191739999999996 × 0.514262075101365 × 6371000     		do = 628.209972093457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12271846--0.12252672) × cos(1.03055070) × R
    0.000191739999999996 × 0.514346652375792 × 6371000     		du = 628.313289623137m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03064932)-sin(1.03055070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.514262075101365-0.514346652375792)×R²
    abs(-0.12252672--0.12271846)×8.45772744270112e-05×R²
    0.000191739999999996×8.45772744270112e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.45772744270112e-05×40589641000000     		ar = 394741.821645584m²