Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15744 / 19783
↖ ↑ ↗
← S 34.948991°
W  7.031250°		 ← 1 001.28 m → S 34.948991°
W  7.020264°		 →
↑
1 001.27 m
↓
↑
1 001.27 m
↓
S 34.957995°
W  7.031250°		 ← 1 001.17 m →
1 002 492 m²		 S 34.957995°
W  7.020264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19783 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480484008789062 y=0.603744506835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480484008789062 × 215)
    floor (0.480484008789062 × 32768)
    floor (15744.5)     		tx = 15744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.603744506835938 × 215)
    floor (0.603744506835938 × 32768)
    floor (19783.5)     		ty = 19783
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15744 / 19783 ti = "15/15744/19783"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15744/19783.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15744 ÷ 215
    15744 ÷ 32768     		x = 0.48046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19783 ÷ 215
    19783 ÷ 32768     		y = 0.603729248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48046875 × 2 - 1) × π
    -0.0390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12271846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.603729248046875 × 2 - 1) × π
    -0.20745849609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.651750087234283
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12271846} λ = -0.12271846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.651750087234283))-π/2
    2×atan(0.521132950107516)-π/2
    2×0.480410684198151-π/2
    0.960821368396303-1.57079632675     		φ = -0.60997496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12271846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.031250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60997496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.948991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15744 KachelY 19783 -0.12271846 -0.60997496 -7.031250 -34.948991
    Oben rechts KachelX + 1 15745 KachelY 19783 -0.12252672 -0.60997496 -7.020264 -34.948991
    Unten links KachelX 15744 KachelY + 1 19784 -0.12271846 -0.61013212 -7.031250 -34.957995
    Unten rechts KachelX + 1 15745 KachelY + 1 19784 -0.12252672 -0.61013212 -7.020264 -34.957995
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60997496--0.61013212) × R
    0.00015715999999999 × 6371000     		dl = 1001.26635999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60997496--0.61013212) × R
    0.00015715999999999 × 6371000     		dr = 1001.26635999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12271846--0.12252672) × cos(-0.60997496) × R
    0.000191739999999996 × 0.819662362189719 × 6371000     		do = 1001.27949270956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12271846--0.12252672) × cos(-0.61013212) × R
    0.000191739999999996 × 0.819572323443109 × 6371000     		du = 1001.16950357905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60997496)-sin(-0.61013212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.819662362189719-0.819572323443109)×R²
    abs(-0.12252672--0.12271846)×9.00387466100661e-05×R²
    0.000191739999999996×9.00387466100661e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.00387466100661e-05×40589641000000     		ar = 1002492.410863m²