Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15743 / 19782
↖ ↑ ↗
← S 34.939985°
W  7.042236°		 ← 1 001.44 m → S 34.939985°
W  7.031250°		 →
↑
1 001.39 m
↓
↑
1 001.39 m
↓
S 34.948991°
W  7.042236°		 ← 1 001.33 m →
1 002 782 m²		 S 34.948991°
W  7.031250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15743 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480453491210938 y=0.603713989257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480453491210938 × 215)
    floor (0.480453491210938 × 32768)
    floor (15743.5)     		tx = 15743
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.603713989257812 × 215)
    floor (0.603713989257812 × 32768)
    floor (19782.5)     		ty = 19782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15743 / 19782 ti = "15/15743/19782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15743/19782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15743 ÷ 215
    15743 ÷ 32768     		x = 0.480438232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19782 ÷ 215
    19782 ÷ 32768     		y = 0.60369873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480438232421875 × 2 - 1) × π
    -0.03912353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12291021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60369873046875 × 2 - 1) × π
    -0.2073974609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.651558339635803
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12291021} λ = -0.12291021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.651558339635803))-π/2
    2×atan(0.521232885680085)-π/2
    2×0.480489272658752-π/2
    0.960978545317503-1.57079632675     		φ = -0.60981778
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12291021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.042236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60981778 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.939985°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15743 KachelY 19782 -0.12291021 -0.60981778 -7.042236 -34.939985
    Oben rechts KachelX + 1 15744 KachelY 19782 -0.12271846 -0.60981778 -7.031250 -34.939985
    Unten links KachelX 15743 KachelY + 1 19783 -0.12291021 -0.60997496 -7.042236 -34.948991
    Unten rechts KachelX + 1 15744 KachelY + 1 19783 -0.12271846 -0.60997496 -7.031250 -34.948991
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60981778--0.60997496) × R
    0.000157179999999979 × 6371000     		dl = 1001.39377999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60981778--0.60997496) × R
    0.000157179999999979 × 6371000     		dr = 1001.39377999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12291021--0.12271846) × cos(-0.60981778) × R
    0.000191750000000004 × 0.819752392145632 × 6371000     		do = 1001.44169752652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12291021--0.12271846) × cos(-0.60997496) × R
    0.000191750000000004 × 0.819662362189719 × 6371000     		du = 1001.3317133987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60981778)-sin(-0.60997496))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.819752392145632-0.819662362189719)×R²
    abs(-0.12271846--0.12291021)×9.0029955913673e-05×R²
    0.000191750000000004×9.0029955913673e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.0029955913673e-05×40589641000000     		ar = 1002782.42028885m²