Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15742 / 9901
↖ ↑ ↗
← N 57.815504°
W  7.053223°		 ← 650.70 m → N 57.815504°
W  7.042236°		 →
↑
650.73 m
↓
↑
650.73 m
↓
N 57.809652°
W  7.053223°		 ← 650.81 m →
423 469 m²		 N 57.809652°
W  7.042236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9901 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480422973632812 y=0.302169799804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480422973632812 × 215)
    floor (0.480422973632812 × 32768)
    floor (15742.5)     		tx = 15742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302169799804688 × 215)
    floor (0.302169799804688 × 32768)
    floor (9901.5)     		ty = 9901
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15742 / 9901 ti = "15/15742/9901"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15742/9901.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15742 ÷ 215
    15742 ÷ 32768     		x = 0.48040771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9901 ÷ 215
    9901 ÷ 32768     		y = 0.302154541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48040771484375 × 2 - 1) × π
    -0.0391845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12310196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302154541015625 × 2 - 1) × π
    0.39569091796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.2430996809473
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12310196} λ = -0.12310196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2430996809473))-π/2
    2×atan(3.46634138195137)-π/2
    2×1.28993361227905-π/2
    2.5798672245581-1.57079632675     		φ = 1.00907090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12310196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.053223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00907090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.815504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15742 KachelY 9901 -0.12310196 1.00907090 -7.053223 57.815504
    Oben rechts KachelX + 1 15743 KachelY 9901 -0.12291021 1.00907090 -7.042236 57.815504
    Unten links KachelX 15742 KachelY + 1 9902 -0.12310196 1.00896876 -7.053223 57.809652
    Unten rechts KachelX + 1 15743 KachelY + 1 9902 -0.12291021 1.00896876 -7.042236 57.809652
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00907090-1.00896876) × R
    0.000102140000000084 × 6371000     		dl = 650.733940000534m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00907090-1.00896876) × R
    0.000102140000000084 × 6371000     		dr = 650.733940000534m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12310196--0.12291021) × cos(1.00907090) × R
    0.000191749999999991 × 0.532647283169793 × 6371000     		do = 650.702827526051m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12310196--0.12291021) × cos(1.00896876) × R
    0.000191749999999991 × 0.53273372528582 × 6371000     		du = 650.808428607843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00907090)-sin(1.00896876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.532647283169793-0.53273372528582)×R²
    abs(-0.12291021--0.12310196)×8.64421160267081e-05×R²
    0.000191749999999991×8.64421160267081e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.64421160267081e-05×40589641000000     		ar = 423468.774198162m²