Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 15742 / 14465
↖ ↑ ↗
← N 70.376009°
W 93.526612°		 ← 205.15 m → N 70.376009°
W 93.521118°		 →
↑
205.15 m
↓
↑
205.15 m
↓
N 70.374164°
W 93.526612°		 ← 205.17 m →
42 088 m²		 N 70.374164°
W 93.521118°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.240211486816406 y=0.220726013183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.240211486816406 × 216)
    floor (0.240211486816406 × 65536)
    floor (15742.5)     		tx = 15742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.220726013183594 × 216)
    floor (0.220726013183594 × 65536)
    floor (14465.5)     		ty = 14465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 15742 / 14465 ti = "16/15742/14465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/15742/14465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15742 ÷ 216
    15742 ÷ 65536     		x = 0.240203857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14465 ÷ 216
    14465 ÷ 65536     		y = 0.220718383789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.240203857421875 × 2 - 1) × π
    -0.51959228515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.63234731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.220718383789062 × 2 - 1) × π
    0.558563232421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.75477814749178
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.63234731} λ = -1.63234731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75477814749178))-π/2
    2×atan(5.78216481188493)-π/2
    2×1.39954470057992-π/2
    2.79908940115984-1.57079632675     		φ = 1.22829307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.63234731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -93.526612°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22829307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.376009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15742 KachelY 14465 -1.63234731 1.22829307 -93.526612 70.376009
    Oben rechts KachelX + 1 15743 KachelY 14465 -1.63225143 1.22829307 -93.521118 70.376009
    Unten links KachelX 15742 KachelY + 1 14466 -1.63234731 1.22826087 -93.526612 70.374164
    Unten rechts KachelX + 1 15743 KachelY + 1 14466 -1.63225143 1.22826087 -93.521118 70.374164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22829307-1.22826087) × R
    3.22000000001488e-05 × 6371000     		dl = 205.146200000948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22829307-1.22826087) × R
    3.22000000001488e-05 × 6371000     		dr = 205.146200000948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.63234731--1.63225143) × cos(1.22829307) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.335846001834888 × 6371000     		do = 205.152027273265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.63234731--1.63225143) × cos(1.22826087) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.335876331385237 × 6371000     		du = 205.170554123983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22829307)-sin(1.22826087))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335846001834888-0.335876331385237)×R²
    abs(-1.63225143--1.63234731)×3.03295503484291e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.03295503484291e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.03295503484291e-05×40589641000000     		ar = 42088.0591779413m²