Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15740 / 6740
↖ ↑ ↗
← N 72.114445°
W  7.075195°		 ← 375.17 m → N 72.114445°
W  7.064209°		 →
↑
375.19 m
↓
↑
375.19 m
↓
N 72.111071°
W  7.075195°		 ← 375.23 m →
140 771 m²		 N 72.111071°
W  7.064209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15740 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480361938476562 y=0.205703735351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480361938476562 × 215)
    floor (0.480361938476562 × 32768)
    floor (15740.5)     		tx = 15740
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205703735351562 × 215)
    floor (0.205703735351562 × 32768)
    floor (6740.5)     		ty = 6740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15740 / 6740 ti = "15/15740/6740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15740/6740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15740 ÷ 215
    15740 ÷ 32768     		x = 0.4803466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6740 ÷ 215
    6740 ÷ 32768     		y = 0.2056884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4803466796875 × 2 - 1) × π
    -0.039306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12348545
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2056884765625 × 2 - 1) × π
    0.588623046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.84921383974329
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12348545} λ = -0.12348545}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84921383974329))-π/2
    2×atan(6.35482165007507)-π/2
    2×1.41471541397109-π/2
    2.82943082794218-1.57079632675     		φ = 1.25863450
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12348545} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.075195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25863450 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.114445°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15740 KachelY 6740 -0.12348545 1.25863450 -7.075195 72.114445
    Oben rechts KachelX + 1 15741 KachelY 6740 -0.12329371 1.25863450 -7.064209 72.114445
    Unten links KachelX 15740 KachelY + 1 6741 -0.12348545 1.25857561 -7.075195 72.111071
    Unten rechts KachelX + 1 15741 KachelY + 1 6741 -0.12329371 1.25857561 -7.064209 72.111071
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25863450-1.25857561) × R
    5.88900000000336e-05 × 6371000     		dl = 375.188190000214m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25863450-1.25857561) × R
    5.88900000000336e-05 × 6371000     		dr = 375.188190000214m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12348545--0.12329371) × cos(1.25863450) × R
    0.000191739999999996 × 0.307116702224143 × 6371000     		do = 375.166251362469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12348545--0.12329371) × cos(1.25857561) × R
    0.000191739999999996 × 0.307172745647466 × 6371000     		du = 375.234712637578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25863450)-sin(1.25857561))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.307116702224143-0.307172745647466)×R²
    abs(-0.12329371--0.12348545)×5.60434233226603e-05×R²
    0.000191739999999996×5.60434233226603e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.60434233226603e-05×40589641000000     		ar = 140770.7897691m²