Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1574 / 2214
↖ ↑ ↗
← N 63.430860°
W110.830078°		 ← 2 185.62 m → N 63.430860°
W110.786133°		 →
↑
2 186.40 m
↓
↑
2 186.40 m
↓
N 63.411198°
W110.830078°		 ← 2 187.12 m →
4 780 274 m²		 N 63.411198°
W110.786133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1574 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2214 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.19219970703125 y=0.27032470703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.19219970703125 × 213)
    floor (0.19219970703125 × 8192)
    floor (1574.5)     		tx = 1574
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.27032470703125 × 213)
    floor (0.27032470703125 × 8192)
    floor (2214.5)     		ty = 2214
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1574 / 2214 ti = "13/1574/2214"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1574/2214.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1574 ÷ 213
    1574 ÷ 8192     		x = 0.192138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2214 ÷ 213
    2214 ÷ 8192     		y = 0.270263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.192138671875 × 2 - 1) × π
    -0.61572265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.93434977
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.270263671875 × 2 - 1) × π
    0.45947265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.44347592135913
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.93434977} λ = -1.93434977}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44347592135913))-π/2
    2×atan(4.23539215059037)-π/2
    2×1.33893684242997-π/2
    2.67787368485995-1.57079632675     		φ = 1.10707736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.93434977} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -110.830078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10707736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.430860°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1574 KachelY 2214 -1.93434977 1.10707736 -110.830078 63.430860
    Oben rechts KachelX + 1 1575 KachelY 2214 -1.93358278 1.10707736 -110.786133 63.430860
    Unten links KachelX 1574 KachelY + 1 2215 -1.93434977 1.10673418 -110.830078 63.411198
    Unten rechts KachelX + 1 1575 KachelY + 1 2215 -1.93358278 1.10673418 -110.786133 63.411198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10707736-1.10673418) × R
    0.000343179999999998 × 6371000     		dl = 2186.39977999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10707736-1.10673418) × R
    0.000343179999999998 × 6371000     		dr = 2186.39977999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.93434977--1.93358278) × cos(1.10707736) × R
    0.000766990000000023 × 0.447277418712637 × 6371000     		do = 2185.61810530789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.93434977--1.93358278) × cos(1.10673418) × R
    0.000766990000000023 × 0.447584330939125 × 6371000     		du = 2187.11782984324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10707736)-sin(1.10673418))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447277418712637-0.447584330939125)×R²
    abs(-1.93358278--1.93434977)×0.00030691222648821×R²
    0.000766990000000023×0.00030691222648821×6371000²
    0.000766990000000023×0.00030691222648821×40589641000000     		ar = 4780274.49022048m²