Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15738 / 19775
↖ ↑ ↗
← S 34.876918°
W  7.097168°		 ← 1 002.21 m → S 34.876918°
W  7.086182°		 →
↑
1 002.16 m
↓
↑
1 002.16 m
↓
S 34.885931°
W  7.097168°		 ← 1 002.10 m →
1 004 319 m²		 S 34.885931°
W  7.086182°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19775 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480300903320312 y=0.603500366210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480300903320312 × 215)
    floor (0.480300903320312 × 32768)
    floor (15738.5)     		tx = 15738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.603500366210938 × 215)
    floor (0.603500366210938 × 32768)
    floor (19775.5)     		ty = 19775
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15738 / 19775 ti = "15/15738/19775"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15738/19775.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15738 ÷ 215
    15738 ÷ 32768     		x = 0.48028564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19775 ÷ 215
    19775 ÷ 32768     		y = 0.603485107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48028564453125 × 2 - 1) × π
    -0.0394287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12386895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.603485107421875 × 2 - 1) × π
    -0.20697021484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.650216106446442
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12386895} λ = -0.12386895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.650216106446442))-π/2
    2×atan(0.521932971492732)-π/2
    2×0.481039633490938-π/2
    0.962079266981877-1.57079632675     		φ = -0.60871706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12386895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.097168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60871706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.876918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15738 KachelY 19775 -0.12386895 -0.60871706 -7.097168 -34.876918
    Oben rechts KachelX + 1 15739 KachelY 19775 -0.12367720 -0.60871706 -7.086182 -34.876918
    Unten links KachelX 15738 KachelY + 1 19776 -0.12386895 -0.60887436 -7.097168 -34.885931
    Unten rechts KachelX + 1 15739 KachelY + 1 19776 -0.12367720 -0.60887436 -7.086182 -34.885931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60871706--0.60887436) × R
    0.000157299999999916 × 6371000     		dl = 1002.15829999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60871706--0.60887436) × R
    0.000157299999999916 × 6371000     		dr = 1002.15829999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12386895--0.12367720) × cos(-0.60871706) × R
    0.000191750000000004 × 0.820382297679521 × 6371000     		do = 1002.21121485051m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12386895--0.12367720) × cos(-0.60887436) × R
    0.000191750000000004 × 0.82029234096332 × 6371000     		du = 1002.1013201952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60871706)-sin(-0.60887436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.820382297679521-0.82029234096332)×R²
    abs(-0.12367720--0.12386895)×8.9956716200823e-05×R²
    0.000191750000000004×8.9956716200823e-05×6371000²
    0.000191750000000004×8.9956716200823e-05×40589641000000     		ar = 1004319.22346526m²