Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15737 / 9895
↖ ↑ ↗
← N 57.850597°
W  7.108155°		 ← 650.07 m → N 57.850597°
W  7.097168°		 →
↑
650.10 m
↓
↑
650.10 m
↓
N 57.844751°
W  7.108155°		 ← 650.17 m →
422 642 m²		 N 57.844751°
W  7.097168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9895 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480270385742188 y=0.301986694335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480270385742188 × 215)
    floor (0.480270385742188 × 32768)
    floor (15737.5)     		tx = 15737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301986694335938 × 215)
    floor (0.301986694335938 × 32768)
    floor (9895.5)     		ty = 9895
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15737 / 9895 ti = "15/15737/9895"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15737/9895.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15737 ÷ 215
    15737 ÷ 32768     		x = 0.480255126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9895 ÷ 215
    9895 ÷ 32768     		y = 0.301971435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480255126953125 × 2 - 1) × π
    -0.03948974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12406070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301971435546875 × 2 - 1) × π
    0.39605712890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.24425016653818
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12406070} λ = -0.12406070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24425016653818))-π/2
    2×atan(3.47033165269875)-π/2
    2×1.29023986465014-π/2
    2.58047972930027-1.57079632675     		φ = 1.00968340
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12406070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.108155°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00968340 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.850597°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15737 KachelY 9895 -0.12406070 1.00968340 -7.108155 57.850597
    Oben rechts KachelX + 1 15738 KachelY 9895 -0.12386895 1.00968340 -7.097168 57.850597
    Unten links KachelX 15737 KachelY + 1 9896 -0.12406070 1.00958136 -7.108155 57.844751
    Unten rechts KachelX + 1 15738 KachelY + 1 9896 -0.12386895 1.00958136 -7.097168 57.844751
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00968340-1.00958136) × R
    0.000102039999999803 × 6371000     		dl = 650.096839998747m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00968340-1.00958136) × R
    0.000102039999999803 × 6371000     		dr = 650.096839998747m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12406070--0.12386895) × cos(1.00968340) × R
    0.000191749999999991 × 0.532128801676204 × 6371000     		do = 650.069430183085m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12406070--0.12386895) × cos(1.00958136) × R
    0.000191749999999991 × 0.532215192440623 × 6371000     		du = 650.174968531736m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00968340)-sin(1.00958136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.532128801676204-0.532215192440623)×R²
    abs(-0.12386895--0.12406070)×8.63907644186312e-05×R²
    0.000191749999999991×8.63907644186312e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.63907644186312e-05×40589641000000     		ar = 422642.387781557m²