Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15737 / 7832
↖ ↑ ↗
← N 68.040461°
W  7.108155°		 ← 456.83 m → N 68.040461°
W  7.097168°		 →
↑
456.86 m
↓
↑
456.86 m
↓
N 68.036352°
W  7.108155°		 ← 456.92 m →
208 730 m²		 N 68.036352°
W  7.097168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480270385742188 y=0.239028930664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480270385742188 × 215)
    floor (0.480270385742188 × 32768)
    floor (15737.5)     		tx = 15737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.239028930664062 × 215)
    floor (0.239028930664062 × 32768)
    floor (7832.5)     		ty = 7832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15737 / 7832 ti = "15/15737/7832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15737/7832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15737 ÷ 215
    15737 ÷ 32768     		x = 0.480255126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7832 ÷ 215
    7832 ÷ 32768     		y = 0.239013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480255126953125 × 2 - 1) × π
    -0.03948974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12406070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.239013671875 × 2 - 1) × π
    0.52197265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.63982546220288
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12406070} λ = -0.12406070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.63982546220288))-π/2
    2×atan(5.15426981882178)-π/2
    2×1.37916320016171-π/2
    2.75832640032341-1.57079632675     		φ = 1.18753007
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12406070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.108155°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18753007 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.040461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15737 KachelY 7832 -0.12406070 1.18753007 -7.108155 68.040461
    Oben rechts KachelX + 1 15738 KachelY 7832 -0.12386895 1.18753007 -7.097168 68.040461
    Unten links KachelX 15737 KachelY + 1 7833 -0.12406070 1.18745836 -7.108155 68.036352
    Unten rechts KachelX + 1 15738 KachelY + 1 7833 -0.12386895 1.18745836 -7.097168 68.036352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18753007-1.18745836) × R
    7.17100000000581e-05 × 6371000     		dl = 456.86441000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18753007-1.18745836) × R
    7.17100000000581e-05 × 6371000     		dr = 456.86441000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12406070--0.12386895) × cos(1.18753007) × R
    0.000191749999999991 × 0.373951742627355 × 6371000     		do = 456.834126399452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12406070--0.12386895) × cos(1.18745836) × R
    0.000191749999999991 × 0.374018248973542 × 6371000     		du = 456.915373162329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18753007)-sin(1.18745836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373951742627355-0.374018248973542)×R²
    abs(-0.12386895--0.12406070)×6.65063461877669e-05×R²
    0.000191749999999991×6.65063461877669e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.65063461877669e-05×40589641000000     		ar = 208729.813092322m²