Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15733 / 7387
↖ ↑ ↗
← N 69.797930°
W  7.152100°		 ← 421.87 m → N 69.797930°
W  7.141113°		 →
↑
421.89 m
↓
↑
421.89 m
↓
N 69.794136°
W  7.152100°		 ← 421.95 m →
177 998 m²		 N 69.794136°
W  7.141113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15733 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7387 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480148315429688 y=0.225448608398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480148315429688 × 215)
    floor (0.480148315429688 × 32768)
    floor (15733.5)     		tx = 15733
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225448608398438 × 215)
    floor (0.225448608398438 × 32768)
    floor (7387.5)     		ty = 7387
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15733 / 7387 ti = "15/15733/7387"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15733/7387.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15733 ÷ 215
    15733 ÷ 32768     		x = 0.480133056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7387 ÷ 215
    7387 ÷ 32768     		y = 0.225433349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480133056640625 × 2 - 1) × π
    -0.03973388671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12482769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225433349609375 × 2 - 1) × π
    0.54913330078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.72515314352658
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12482769} λ = -0.12482769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72515314352658))-π/2
    2×atan(5.61338061677507)-π/2
    2×1.39450000793139-π/2
    2.78900001586278-1.57079632675     		φ = 1.21820369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12482769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.152100°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21820369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.797930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15733 KachelY 7387 -0.12482769 1.21820369 -7.152100 69.797930
    Oben rechts KachelX + 1 15734 KachelY 7387 -0.12463594 1.21820369 -7.141113 69.797930
    Unten links KachelX 15733 KachelY + 1 7388 -0.12482769 1.21813747 -7.152100 69.794136
    Unten rechts KachelX + 1 15734 KachelY + 1 7388 -0.12463594 1.21813747 -7.141113 69.794136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21820369-1.21813747) × R
    6.62199999998947e-05 × 6371000     		dl = 421.887619999329m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21820369-1.21813747) × R
    6.62199999998947e-05 × 6371000     		dr = 421.887619999329m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12482769--0.12463594) × cos(1.21820369) × R
    0.000191750000000004 × 0.34533210454779 × 6371000     		do = 421.871253200693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12482769--0.12463594) × cos(1.21813747) × R
    0.000191750000000004 × 0.345394249972427 × 6371000     		du = 421.947172490638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21820369)-sin(1.21813747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34533210454779-0.345394249972427)×R²
    abs(-0.12463594--0.12482769)×6.21454246375053e-05×R²
    0.000191750000000004×6.21454246375053e-05×6371000²
    0.000191750000000004×6.21454246375053e-05×40589641000000     		ar = 177998.273727863m²